Distribuzione Chi-Quadro — ingegnerismo.it

La distribuzione Chi-Quadro ( $\chi^2$ ) è una distribuzione di probabilità continua che gioca un ruolo centrale nella statistica inferenziale, specialmente per i test di ipotesi e la stima della varianza.

Definizione

Se $Z_1, Z_2, \dots, Z_n$ sono variabili aleatorie Normali Standard ( $Z_i \sim N(0, 1)$ ) indipendenti, allora la variabile: $X = \sum_{i=1}^n Z_i^2$ segue una distribuzione Chi-Quadro con $n$ gradi di libertà (indicata con $X \sim \chi^2_n$ ).

Indicatori Statistici

Valore Atteso: $E[X] = n$
Varianza: $\text{Var}(X) = 2n$

Significato Ingegneristico

Test di Bontà dell’Adattamento (Goodness-of-Fit): Utilizzata per verificare se un insieme di dati sperimentali segue effettivamente una certa distribuzione teorica (es. “questi errori sono davvero normali?”). Si confrontano le frequenze osservate con quelle attese tramite il test $\chi^2$ .
Stima della Varianza: In ingegneria della qualità, se si estrae un campione da una popolazione normale, la varianza campionaria segue (a meno di un fattore di scala) una distribuzione Chi-Quadro. Questo permette di costruire intervalli di confidenza sulla precisione di un macchinario.
Test di Indipendenza: Utilizzata nelle tabelle di contingenza per determinare se esiste una correlazione tra due variabili categoriche (es. “il tipo di guasto dipende dal turno di lavoro?”).

Vedi anche: Distribuzione Normale, Distribuzione t di Student, Gradi di Libertà.