La log-gamma è la funzione:
cioè il logaritmo della funzione gamma. È fondamentale nel calcolo numerico perché \Gamma(x) cresce molto rapidamente e può superare presto l’intervallo rappresentabile da un computer.
Per interi positivi:
Invece di calcolare prima n! e poi il logaritmo, si calcola direttamente la log-gamma.
Perché è utile
Molte formule di probabilità e statistica contengono prodotti, fattoriali o rapporti di gamma. Lavorare in scala logaritmica trasforma prodotti in somme e rapporti in differenze:
Questa forma è più stabile e riduce overflow, underflow e perdita di precisione.
Il vantaggio non è solo numerico. Molte procedure di stima massimizzano log-verosimiglianze: passare al logaritmo conserva il punto di massimo, perché il logaritmo è crescente, ma rende le formule più maneggevoli.
Fattoriali e coefficienti combinatori
Per grandi interi, calcolare direttamente un fattoriale può essere impossibile. Con la log-gamma:
Un coefficiente binomiale può essere calcolato in forma logaritmica:
Questa formula è essenziale in probabilità discreta, statistica computazionale e algoritmi che devono confrontare quantità combinatorie molto grandi.
Collegamento con beta e distribuzioni
La funzione beta soddisfa:
La sua forma logaritmica è:
Questa identità compare in distribuzioni beta, gamma, Dirichlet, chi-quadro e in molte log-verosimiglianze.
Per esempio, nella densità beta la costante di normalizzazione contiene B(a,b). In scala logaritmica, il contributo diventa:
Espandendolo con log-gamma si evitano prodotti e divisioni tra quantità molto grandi.
Uso nelle verosimiglianze
Se una densità contiene una costante di normalizzazione con gamma, la log-verosimiglianza contiene log-gamma. Per una distribuzione gamma con forma \alpha e tasso \lambda, un termine tipico è:
In stima statistica, ottimizzare la log-verosimiglianza è quasi sempre più stabile che ottimizzare direttamente il prodotto delle densità.
Per un campione x_1,\ldots,x_n da una distribuzione gamma, una parte della log-verosimiglianza contiene:
Il termine \log\Gamma(\alpha) è quello che rende necessarie funzioni numeriche affidabili quando \alpha è stimato dai dati.
Approssimazione asintotica
Per argomenti grandi, la formula di Stirling fornisce:
Le librerie numeriche usano approssimazioni più accurate, ma questa formula spiega perché la crescita è molto rapida e perché il logaritmo è la scala naturale.
Una forma con più termini è:
Il termine di correzione migliora la precisione quando x è grande ma non enorme.
Differenze di log-gamma
Spesso non serve \log\Gamma(x) da sola, ma una differenza:
Per x grande, questa differenza può essere molto più piccola dei due termini separati. Calcolarla con funzioni dedicate o formule asintotiche evita cancellazioni numeriche e migliora la stabilità.
Errori comuni
Un errore frequente è calcolare \Gamma(x) e poi applicare il logaritmo. Per valori grandi questo può produrre overflow anche quando \log\Gamma(x) sarebbe perfettamente rappresentabile.
Un secondo errore è confondere log-gamma con la derivata della log-gamma. La derivata si chiama funzione digamma e ha ruolo diverso, soprattutto nell’ottimizzazione di parametri.
Un terzo errore è dimenticare il dominio reale: per x\gt0 la log-gamma reale è ben definita; per argomenti negativi non interi entrano in gioco segni, rami complessi e poli della gamma. Nei modelli probabilistici, i parametri che entrano nella gamma sono in genere positivi proprio per evitare questi problemi.
Implementazione numerica
Le librerie scientifiche forniscono quasi sempre una funzione dedicata, spesso chiamata lgamma, gammaln o loggamma. Usarla è preferibile a combinare manualmente gamma e logaritmo:
dal punto di vista numerico, anche se l’identità matematica è la stessa. La funzione dedicata evita overflow intermedi, gestisce approssimazioni per regioni diverse e spesso restituisce risultati accurati anche per argomenti grandi.
Nei calcoli probabilistici, un pattern robusto è lavorare sempre in scala logaritmica e passare alla scala ordinaria solo alla fine, se necessario. Per normalizzare probabilità logaritmiche si usa spesso la tecnica log-sum-exp, che evita underflow quando molte probabilità sono piccolissime.
Derivate
Quando si ottimizzano parametri che entrano in \log\Gamma(x), compaiono le derivate:
dove \psi è la funzione digamma. La derivata seconda è la trigamma. Queste funzioni sono importanti per metodi di Newton, stima di massima verosimiglianza e modelli bayesiani.
Uso con probabilità logaritmiche
Quando una formula contiene molti fattori di probabilità, il prodotto può diventare numericamente nullo anche se il valore matematico non è zero. Per questo si sommano log-probabilità:
Se f contiene gamma, la log-gamma entra direttamente nella somma. Il risultato è più stabile e più leggibile: i contributi di normalizzazione, dati e parametri restano separati.
Lettura dimensionale
La log-gamma non ha una dimensione fisica autonoma: viene applicata a quantità adimensionali, come parametri di forma, conteggi generalizzati o combinazioni normalizzate. Se una formula sembra richiedere \log\Gamma di una grandezza con unità fisica, spesso manca una scala di riferimento o il modello è stato scritto in modo dimensionalmente incompleto.