La formula di Taylor in più variabili approssima una funzione f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} vicino a un punto x_0 usando derivate di ordine crescente. È la generalizzazione multivariata della formula di Taylor in una variabile e costituisce lo strumento locale di base per ottimizzazione, stabilità e linearizzazione.
Forma al secondo ordine
Se f è di classe C^2 in un intorno di x_0, allora per un incremento h piccolo:
Il termine lineare descrive la variazione principale tramite il gradiente; il termine quadratico, governato dalla matrice Hessiana, descrive la curvatura locale. È lo strumento base per classificare punti critici e stimare errori locali.
| Termine | Formula | Significato |
|---|---|---|
| Valore di riferimento | \displaystyle f(x_0) | Livello della funzione nel punto base. |
| Termine lineare | \displaystyle \nabla f(x_0)\cdot h | Approssimazione di primo ordine, legata al piano tangente. |
| Termine quadratico | \displaystyle \dfrac{1}{2}h^T H_f(x_0)h | Correzione di curvatura tramite la matrice Hessiana. |
| Resto piccolo | \displaystyle o(\lVert h\rVert^2) | Errore trascurabile rispetto al quadrato della distanza. |
Formula generale
Con la notazione dei multiindici \alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n), \alpha!=\alpha_1!\cdots\alpha_n! e h^\alpha=h_1^{\alpha_1}\cdots h_n^{\alpha_n}, lo sviluppo fino all’ordine k si scrive:
| Simbolo | Definizione | Ruolo |
|---|---|---|
| \displaystyle \alpha | multiindice \displaystyle (\alpha_1,\ldots,\alpha_n) | Tiene traccia degli ordini di derivazione rispetto alle variabili. |
| \displaystyle \lvert\alpha\rvert | \displaystyle \alpha_1+\cdots+\alpha_n | Ordine totale della derivata. |
| \displaystyle \partial^\alpha f | derivata parziale mista di ordine \displaystyle \lvert\alpha\rvert | Coefficiente dello sviluppo. |
| \displaystyle h^\alpha | \displaystyle h_1^{\alpha_1}\cdots h_n^{\alpha_n} | Monomio nell’incremento. |
La formula con multiindici è compatta, ma per il calcolo pratico al secondo ordine è spesso più leggibile la forma con gradiente e Hessiana. Il termine o(\lVert h\rVert^k) è il resto di Taylor nella forma di Peano.
Classificazione dei punti critici
Se x_0 è un punto stazionario, cioè \nabla f(x_0)=0, il termine lineare scompare e la forma quadratica associata alla Hessiana diventa il primo indicatore del comportamento locale:
| Hessiana in \displaystyle x_0 | Segno di \displaystyle q(h) | Conclusione |
|---|---|---|
| Definita positiva | \displaystyle q(h)>0 per \displaystyle h\ne0 | Minimo locale stretto. |
| Definita negativa | \displaystyle q(h)<0 per \displaystyle h\ne0 | Massimo locale stretto. |
| Indefinita | \displaystyle q(h) assume segni opposti | Punto di sella. |
| Semidefinita | \displaystyle q(h) non decide tutti i versi | Test inconcludente: servono ordini superiori. |
Linearizzazione e modelli locali
Il troncamento al primo ordine
è l’approssimazione lineare della funzione. Nei modelli ingegneristici viene usata per linearizzare leggi non lineari attorno a un punto di lavoro; il secondo ordine aggiunge invece la curvatura locale e permette di stimare l’errore della linearizzazione.
| Obiettivo | Ordine usato | Lettura operativa |
|---|---|---|
| Piano tangente | \displaystyle 1 | Modello locale lineare. |
| Classificazione di estremi | \displaystyle 2 | Uso della Hessiana e della forma quadratica. |
| Stima dell’errore | \displaystyle k con resto | Controllo della precisione dell’approssimazione. |
| Ottimizzazione numerica | \displaystyle 2 | Base dei metodi di Newton e delle approssimazioni quadratiche. |
Errori comuni
Non bisogna confondere il vettore incremento h con una singola variabile scalare: in più variabili il termine quadratico è una forma bilineare costruita con la Hessiana. Inoltre, se la Hessiana è semidefinita il test del secondo ordine non basta; occorre analizzare termini di ordine superiore o studiare direttamente la funzione lungo curve specifiche.
Vedi anche: formula di Taylor, resto di Taylor, gradiente, matrice Hessiana, forma quadratica, teorema di Schwarz.