Il resto di Taylor è la differenza tra una funzione e il suo polinomio di Taylor troncato. Se T_n(x) è il polinomio di Taylor di ordine n di f in x_0, allora:
La formula di Taylor si scrive quindi:
Il resto è la parte che controlla la qualità dell’approssimazione.
Resto di Peano
Se interessa il comportamento locale vicino a x_0, si usa spesso la forma di Peano:
Questa forma dice che l’errore è trascurabile rispetto a (x-x_0)^n, ma non fornisce una costante numerica esplicita. È particolarmente utile nei limiti e negli sviluppi locali.
Resto di Lagrange
Se f è derivabile n+1 volte in un intervallo tra x_0 e x, allora esiste un punto \xi compreso tra x_0 e x tale che:
Questa forma permette di stimare l’errore se si conosce un limite superiore per la derivata successiva:
allora:
Forma integrale
Una forma più strutturale del resto è:
È utile quando si vogliono dimostrare stime, passare al limite o confrontare il resto con integrali noti.
Sintesi
| Forma | Formula | Uso tipico |
|---|---|---|
| Peano | \displaystyle R_n=o\!\left((x-x_0)^n\right) | Limiti e comportamento locale qualitativo. |
| Lagrange | \displaystyle R_n=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} | Stima numerica dell’errore. |
| Integrale | \displaystyle R_n=\dfrac{1}{n!}\int_{x_0}^{x} f^{(n+1)}(t)(x-t)^n\,dt | Dimostrazioni e stime analitiche. |
| Multivariabile | \displaystyle o(\lVert h\rVert^k) | Errore nello sviluppo di Taylor in più variabili. |
Errori comuni
- Confondere la forma di Peano con una stima numerica: o(\cdot) descrive un ordine, non una costante.
- Usare il resto di Lagrange senza controllare la derivata di ordine n+1 nell’intervallo.
- Dimenticare che il punto \xi non è noto in generale: serve per stimare, non per calcolare direttamente.
- Scambiare il resto di una formula finita con la convergenza della serie di Taylor infinita.
Vedi anche: formula di Taylor, formula di Taylor in più variabili, serie di Taylor, simboli di Landau.