La serie di Taylor è una rappresentazione di una funzione derivabile infinite volte come una somma infinita di termini calcolati a partire dalle sue derivate in un punto specifico.
Formula Generale
Se f(x) è derivabile infinite volte in un intorno di x_0, la sua serie di Taylor è: f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n Se x_0 = 0, la serie è chiamata Serie di McLaurin.
Resto di Peano e Lagrange
Poiché in pratica si sommano solo i primi n termini (polinomio di Taylor P_n), si commette un errore chiamato Resto (R_n):
- Peano: R_n(x) = o((x-x_0)^n). Utile per il calcolo dei limiti.
- Lagrange: R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}, dove \xi è tra x e x_0. Utile per stimare l’errore numerico.
Applicazioni Tecniche
In ingegneria, gli sviluppi di Taylor sono lo strumento standard per la linearizzazione: un sistema non lineare viene approssimato con un modello lineare nell’intorno di un punto di lavoro, rendendone possibile lo studio tramite la teoria dei sistemi lineari.