Teorema di Schwarz

Il teorema di Schwarz (o di Clairaut-Schwarz) stabilisce che l’ordine di derivazione nelle derivate parziali miste è irrilevante sotto opportune condizioni di regolarità.

Enunciato

Sia $f: A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ di classe $C^2$ (ovvero con derivate seconde continue) in un aperto $A$. Allora per ogni coppia di indici $i, j$: $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}$

Conseguenza: Matrice Hessiana Simmetrica

Il teorema implica che la matrice Hessiana di una funzione $C^2$: $H_f(\mathbf{x}) = \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}\right)_{i,j}$ è sempre simmetrica. Questa proprietà è fondamentale per la classificazione dei punti critici tramite gli autovalori dell’Hessiana.

Controesempio senza Continuità

Il teorema è falso senza la continuità delle derivate seconde. La funzione: $f(x,y) = \begin{cases} xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases}$ ha derivate miste in $(0,0)$ che differiscono: $f_{xy}(0,0) = 1$ e $f_{yx}(0,0) = -1$.

Generalizzazione

Per funzioni di classe $C^k$, le derivate parziali di ordine $\leq k$ sono indipendenti dall’ordine di derivazione. Questo consente di classificare i monomi $\frac{\partial^k f}{\partial x_{i_1}\cdots\partial x_{i_k}}$ tramite il solo multiindice non ordinato.