Il teorema di Schwarz (o di Clairaut-Schwarz) stabilisce che l’ordine di derivazione nelle derivate parziali miste è irrilevante sotto opportune condizioni di regolarità.
Enunciato
Sia f: A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} di classe C^2 (ovvero con derivate seconde continue) in un aperto A. Allora per ogni coppia di indici i, j: \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}
Conseguenza: Matrice Hessiana Simmetrica
Il teorema implica che la matrice Hessiana di una funzione C^2: H_f(\mathbf{x}) = \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}\right)_{i,j} è sempre simmetrica. Questa proprietà è fondamentale per la classificazione dei punti critici tramite gli autovalori dell’Hessiana.
Controesempio senza Continuità
Il teorema è falso senza la continuità delle derivate seconde. La funzione: f(x,y) = \begin{cases} xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases} ha derivate miste in (0,0) che differiscono: f_{xy}(0,0) = 1 e f_{yx}(0,0) = -1.
Generalizzazione
Per funzioni di classe C^k, le derivate parziali di ordine \leq k sono indipendenti dall’ordine di derivazione. Questo consente di classificare i monomi \frac{\partial^k f}{\partial x_{i_1}\cdots\partial x_{i_k}} tramite il solo multiindice non ordinato.