Antitrasformata di Laplace — ingegnerismo.it

L’antitrasformata di Laplace ricostruisce una funzione del tempo $f(t)$ a partire dalla sua trasformata di Laplace $F(s)$ . Si indica con

f(t)=\mathcal L^{-1}\{F(s)\}.

Nel calcolo ingegneristico è il passaggio che riporta una soluzione dal dominio della variabile complessa $s$ al dominio del tempo: risposte impulsive, transitori, segnali causali e uscite di sistemi LTI.

Formula teorica

La definizione analitica dell’inversione è data dalla formula di Bromwich:

f(t) = \dfrac{1}{2\pi i} \int_{\gamma-i\infty}^{\gamma+i\infty} F(s)e^{st}\,ds.

La retta $\operatorname{Re}s=\gamma$ deve stare nella regione di convergenza opportuna, a destra delle singolarità nel caso causale usuale.

Metodi pratici

Metodo	Quando si usa
Tavole di trasformate	forme elementari già note
Fratti semplici	funzioni razionali di $s$
Proprietà di traslazione	ritardi, fattori esponenziali e segnali causali
Teorema dei residui	poli e singolarità nel piano complesso
Convoluzione	prodotti di trasformate che diventano convoluzioni nel tempo

Per funzioni razionali, il metodo tipico è scomporre $F(s)$ in termini elementari:

F(s)=\sum_k \dfrac{A_k}{s-p_k}.

Allora:

\mathcal L^{-1} \left\{ \dfrac{A_k}{s-p_k} \right\} = A_k e^{p_k t}u(t),

dove $u(t)$ è il gradino di Heaviside.

Ruolo della regione di convergenza

La stessa espressione algebrica può rappresentare segnali diversi se cambia la regione di convergenza. Nel caso unilatero usato nei sistemi causali, l’antitrasformata è normalmente interpretata per $t\ge0$ e include le condizioni iniziali nel calcolo operatoriale.

Aspetto	Conseguenza
Poli di $F(s)$	determinano modi esponenziali e oscillatori
Residui ai poli	determinano ampiezza dei modi
Regione di convergenza	distingue causalità e stabilità
Ritardi temporali	introducono fattori $\displaystyle e^{-sT}$

Uso nei sistemi

Nella funzione di trasferimento, l’uscita nel dominio di Laplace è spesso

Y(s)=H(s)U(s).

L’antitrasformata di $Y(s)$ fornisce la risposta temporale $y(t)$ . Per questo poli, zeri e residui non sono solo oggetti algebrici: determinano durata del transitorio, oscillazioni, smorzamento e valore a regime.