La regione di convergenza è l’insieme dei valori della variabile complessa per cui l’integrale o la serie che definisce una trasformata converge. Non è un dettaglio accessorio: nella trasformata di Laplace e nella trasformata Z, la stessa espressione algebrica può corrispondere a segnali diversi se cambia la regione di convergenza.
Trasformata di Laplace
Per la trasformata di Laplace unilatera o bilatera si studiano integrali del tipo
La variabile complessa è
La regione di convergenza è l’insieme dei valori di s per cui l’integrale è finito. Nei segnali causali spesso è un semipiano del tipo
Il bordo della regione è legato alla crescita esponenziale del segnale.
Trasformata Z
Per la trasformata Z si considera
La regione di convergenza è l’insieme dei valori di z\in\mathbb{C} per cui la serie converge. Nei casi razionali, la regione di convergenza è tipicamente:
- l’esterno di una circonferenza;
- l’interno di una circonferenza;
- una corona circolare.
La posizione della regione rispetto ai poli determina proprietà temporali e di stabilità.
Perché non basta la formula algebrica
Consideriamo una trasformata razionale con espressione
Questa forma può corrispondere a un segnale causale
con regione di convergenza
oppure a un segnale anticausale con regione
La formula algebrica è la stessa; la regione di convergenza distingue il segnale.
Stabilità e causalità
Per sistemi lineari tempo-invarianti discreti, la stabilità BIBO richiede che la regione di convergenza della risposta impulsiva includa la circonferenza unitaria:
La causalità, invece, è legata al fatto che la regione di convergenza sia esterna al polo di modulo massimo. Questo collega la regione di convergenza a poli, zeri e risposta nel tempo e alla funzione di trasferimento.
Per Laplace, in modo analogo, la stabilità è collegata all’inclusione dell’asse immaginario nella regione di convergenza.
Errori comuni
Un errore frequente è scrivere una trasformata razionale senza indicare la regione di convergenza. In analisi dei segnali questa omissione può rendere il risultato ambiguo.
Un secondo errore è identificare automaticamente poli e regione di convergenza. I poli delimitano la regione, ma non la determinano da soli: serve anche l’informazione sul supporto temporale del segnale.
Infine, la regione di convergenza non è la regione di stabilità assoluta di un metodo numerico. Sono entrambe regioni nel piano complesso, ma descrivono oggetti diversi. Per la seconda nozione, vedi stabilità assoluta.