Stabilità assoluta — ingegnerismo.it

La stabilità assoluta descrive per quali valori del passo un metodo numerico per equazioni differenziali ordinarie riproduce correttamente il decadimento di una soluzione stabile. È una nozione distinta dalla zero-stabilità: quest’ultima riguarda il limite $h\to0$ e la propagazione degli errori nei metodi multistep, mentre la stabilità assoluta riguarda il comportamento per valori finiti del prodotto $h\lambda$ .

È uno dei concetti chiave nei metodi numerici per EDO, soprattutto quando il problema è stiff e contiene scale temporali molto diverse.

Equazione test

La stabilità assoluta si studia sull’equazione test lineare

y'=\lambda y, \qquad \operatorname{Re}\lambda<0.

La soluzione esatta è

y(t)=y(0)e^{\lambda t}.

Se $\operatorname{Re}\lambda<0$ , la soluzione tende a zero. Un metodo numerico dovrebbe quindi produrre una successione che non cresce artificialmente.

Applicando un metodo con passo $h$ , si ottiene spesso una ricorrenza del tipo

y_{n+1}=R(z)y_n, \qquad z=h\lambda,

dove $R(z)$ è detta funzione di stabilità del metodo.

Regione di stabilità assoluta

La regione di stabilità assoluta è

\mathcal{S}=\{z\in\mathbb{C}: |R(z)|\le1\}.

Se $z=h\lambda$ appartiene a $\mathcal{S}$ , il metodo non amplifica il modo numerico associato all’equazione test. Se invece $|R(z)|>1$ , la soluzione numerica cresce anche quando la soluzione esatta decade.

La regione $\mathcal{S}$ dipende dal metodo, non dal problema specifico. Il problema specifico entra attraverso i valori di $\lambda$ e il passo $h$ .

Esempio: metodo di Eulero esplicito

Per il metodo di Eulero esplicito si ha

y_{n+1}=y_n+h\lambda y_n=(1+z)y_n,

quindi

R(z)=1+z.

La regione di stabilità è

|1+z|\le1,

cioè il disco del piano complesso centrato in $-1$ e raggio $1$ . Sul semiasse reale negativo questo impone, per $\lambda<0$ ,

-2\le h\lambda\le0.

Quindi il passo deve soddisfare

0<h\le \dfrac{2}{|\lambda|}.

Se $|\lambda|$ è grande, il passo richiesto diventa molto piccolo anche quando la soluzione esatta decade rapidamente. Questo è il tipico vincolo dei problemi stiff.

Problemi stiff

Un problema stiff contiene componenti che decadono molto in fretta e componenti che evolvono lentamente. La stabilità, più che l’accuratezza locale, può determinare il passo massimo utilizzabile. In questi casi un metodo esplicito può richiedere passi minuscoli solo per evitare instabilità numerica.

I metodi impliciti hanno spesso regioni di stabilità più ampie. Un metodo è detto $A$ -stabile se la sua regione di stabilità contiene tutto il semipiano sinistro:

\{z\in\mathbb{C}:\operatorname{Re}z\le0\}\subseteq\mathcal{S}.

Questa proprietà è particolarmente preziosa per equazioni differenziali stiff, circuiti, cinetiche chimiche, modelli termici e sistemi dissipativi.

Errori comuni

Un errore frequente è confondere stabilità assoluta e accuratezza. Un passo può essere stabile ma troppo grande per ottenere una soluzione accurata. La stabilità impedisce una crescita artificiale, ma non garantisce un errore piccolo.

Un secondo errore è pensare che diminuire il passo serva solo a migliorare la precisione. Nei metodi espliciti, su problemi stiff, diminuire $h$ può essere necessario prima di tutto per entrare nella regione di stabilità.

Infine, la stabilità assoluta non sostituisce la verifica della consistenza e della convergenza. È una lente specifica sul comportamento del metodo applicato all’equazione test. Per un quadro più ampio, vedi il formulario di EDO e analisi numerica.