Metodi Numerici per EDO — ingegnerismo.it

I metodi numerici per EDO approssimano la soluzione di problemi di Cauchy $y' = f(x,y)$ , $y(x_0) = y_0$ su una griglia di punti $x_n = x_0 + nh$ .

Metodo di Eulero Esplicito e Implicito

Esplicito (forward Euler): $y_{n+1} = y_n + h\,f(x_n, y_n)$ . Semplice da implementare, ma con stabilità condizionata ( $h$ deve essere piccolo).
Implicito (backward Euler): $y_{n+1} = y_n + h\,f(x_{n+1}, y_{n+1})$ . Richiede la risoluzione di un sistema (non lineare) a ogni passo, ma è A-stabile (utile per problemi stiff).

Metodi Multistep di Adams

Usano più punti precedenti per una maggiore accuratezza con lo stesso numero di valutazioni di $f$ :

Adams-Bashforth (esplicito, 2 passi): $y_{n+1} = y_n + h\left(\frac{3}{2}f_n - \frac{1}{2}f_{n-1}\right)$ ; ordine 2.
Adams-Moulton (implicito, 2 passi): $y_{n+1} = y_n + h\left(\frac{5}{12}f_{n+1} + \frac{8}{12}f_n - \frac{1}{12}f_{n-1}\right)$ ; ordine 3.

In pratica si usano in coppia (predictor-corrector): Adams-Bashforth predice, Adams-Moulton corregge.

Convergenza, Consistenza, Stabilità

Consistenza: l’errore locale di troncamento tende a zero con $h \to 0$ .
Stabilità (zero-stabilità): le perturbazioni non crescono illimitatamente.
Convergenza = consistenza + stabilità (teorema di Dahlquist).

Problemi Stiff e Metodi A-Stabili

Un problema è stiff quando ha soluzioni con scale temporali molto diverse (es. circuiti RLC con $RC \ll 1$ ). I metodi espliciti richiedono $h$ estremamente piccolo per stabilità; i metodi A-stabili (come Eulero implicito o i metodi BDF) non hanno questa limitazione.

Metodi Numerici per Problemi ai Limiti

Per EDO con condizioni al contorno (non condizioni iniziali) si usano:

Metodo delle differenze finite: si discretizza il dominio e si sostituiscono le derivate con differenze finite.
Metodo dello shooting: si trasforma il problema ai limiti in una successione di problemi di Cauchy.