I poli di un sistema determinano la forma della sua risposta nel tempo: poli reali danno modi esponenziali, poli complessi coniugati danno oscillazioni smorzate. Questa scheda collega la posizione dei poli nel piano s ai parametri pratici della risposta: costante di tempo, sovraelongazione, tempo di assestamento.
Forma canonica del secondo ordine:
G(s)=\dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2},
con \omega_n pulsazione naturale e \zeta smorzamento.
1. Costante di tempo di un primo ordine
Esercizio. Un sistema del primo ordine G(s)=\dfrac{5}{2s+1}. Trovare costante di tempo e guadagno statico.
Riportando in forma canonica \dfrac{K}{\tau s+1}:
K=5,\qquad \tau=2\ \text{s}.
Il polo è in s=-1/\tau=-0{,}5. La risposta al gradino raggiunge il 63\% del valore finale dopo \tau=2\,s e si considera esaurita dopo \approx5\tau=10\,s.
2. Pulsazione naturale e smorzamento dai poli
Esercizio. Un sistema ha poli in s=-2\pm j3. Ricavare \omega_n e \zeta.
Passo 1 — pulsazione naturale (modulo del polo):
\omega_n=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}=3{,}61\ \text{rad/s}.
Passo 2 — smorzamento (la parte reale è -\zeta\omega_n):
\zeta=\dfrac{2}{\omega_n}=\dfrac{2}{3{,}61}=0{,}55.
0<\zeta<1 → sistema sottosmorzato: la risposta oscilla prima di assestarsi.
- triangolo di lettura: ζωn=2, ωd=3, ωn=√13
3. Classificazione dello smorzamento
Esercizio. Per G(s)=\dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}, classificare la risposta secondo \zeta.
I poli sono s=-\zeta\omega_n\pm\omega_n\sqrt{\zeta^2-1}:
- \zeta=0 → oscillazione non smorzata (poli immaginari puri);
- 0<\zeta<1 → sottosmorzato, oscillazioni decrescenti (poli complessi);
- \zeta=1 → criticamente smorzato, più rapido senza oscillare (poli reali coincidenti);
- \zeta>1 → sovrasmorzato, due esponenziali, lento (poli reali distinti).
Il caso più usato nel progetto è \zeta\approx0{,}7: buon compromesso tra rapidità e oscillazione contenuta.
4. Sovraelongazione massima
Esercizio. Per il sistema del punto 2 (\zeta=0{,}55), calcolare la sovraelongazione percentuale al gradino.
La sovraelongazione massima dipende solo da \zeta:
S\%=100\,e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}=100\,e^{-\pi\times0{,}55/\sqrt{1-0{,}55^2}}.
Calcolo dell’esponente: \sqrt{1-0{,}3025}=\sqrt{0{,}6975}=0{,}835, quindi -\pi\times0{,}55/0{,}835=-2{,}07:
S\%=100\,e^{-2{,}07}=100\times0{,}126=12{,}6\%.
L’uscita supera il valore finale di circa il 13\% prima di assestarsi. Più \zeta è basso, più la sovraelongazione cresce.
5. Tempo di assestamento
Esercizio. Per il sistema del punto 2 (\zeta=0{,}55, \omega_n=3{,}61\ \text{rad/s}), stimare il tempo di assestamento al 2\%.
Il tempo di assestamento al 2\% si stima con il decadimento dell’inviluppo e^{-\zeta\omega_n t}:
t_a\approx\dfrac{4}{\zeta\omega_n}=\dfrac{4}{0{,}55\times3{,}61}=\dfrac{4}{1{,}99}=2{,}0\ \text{s}.
Dipende dalla parte reale dei poli (\zeta\omega_n=2): più i poli sono a sinistra nel piano s, più rapido l’assestamento. Coerente: i poli sono -2\pm j3, parte reale -2.
6. Pulsazione delle oscillazioni
Esercizio. Per lo stesso sistema, qual è la frequenza delle oscillazioni smorzate?
La pulsazione smorzata è la parte immaginaria dei poli:
\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}=3{,}61\times0{,}835=3{,}01\ \text{rad/s}.
Coerente con i poli -2\pm j3: la parte immaginaria \approx3 è proprio \omega_d. Il periodo delle oscillazioni è T=2\pi/\omega_d\approx2{,}1\,s.
7. Effetto dei poli dominanti
Esercizio. Un sistema ha poli in s=-1 e s=-10. Quale governa la risposta e perché?
Il polo in s=-1 ha costante di tempo \tau_1=1\,s; quello in s=-10 ha \tau_2=0{,}1\,s. Il modo associato a s=-10 si esaurisce dieci volte più in fretta:
e^{-10t}\ \text{trascurabile quando}\ e^{-t}\ \text{è ancora attivo.}
Il polo in s=-1 è dominante: detta la risposta complessiva. Regola pratica: un polo si può trascurare se è almeno 5–10 volte più veloce dei poli dominanti. Permette di approssimare sistemi di ordine alto con modelli ridotti.
8. Effetto di uno zero
Esercizio. Confrontare qualitativamente G_1(s)=\dfrac{1}{s+1} con G_2(s)=\dfrac{s+0{,}5}{s+1}: che effetto ha lo zero in s=-0{,}5?
Lo zero non sposta i poli (la dinamica di base resta e^{-t}) ma altera l’andamento iniziale: aggiunge un termine proporzionale alla derivata della risposta. Effetti tipici:
- uno zero a sinistra (parte reale negativa) accelera la risposta e può aumentare la sovraelongazione;
- uno zero a destra (parte reale positiva, sistema a fase non minima) provoca una risposta inversa iniziale: l’uscita parte nella direzione sbagliata.
Gli zeri non determinano la stabilità (la decidono i poli) ma modellano la forma del transitorio.
Errori comuni
- Confondere \omega_n con \omega_d. \omega_n è il modulo del polo (pulsazione naturale), \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} è la frequenza effettiva delle oscillazioni: coincidono solo se \zeta=0.
- Legare il tempo di assestamento a \omega_n. t_a dipende dalla parte reale \zeta\omega_n, non da \omega_n da solo: due sistemi con stesso \omega_n ma \zeta diversi si assestano in tempi diversi.
- Credere che gli zeri spostino i poli. Gli zeri modellano il transitorio ma non cambiano stabilità né poli; un sistema resta stabile o instabile per i suoi poli.
- Dimenticare la fase non minima. Uno zero a parte reale positiva dà risposta inversa iniziale: ignorarlo porta a regolatori troppo aggressivi che peggiorano il sistema.