La scomposizione in fratti semplici è una procedura algebrica che permette di scrivere una funzione razionale N(x)/D(x) (dove il grado di N è minore del grado di D) come somma di frazioni i cui denominatori sono i fattori del polinomio D(x).
Casi Principali
- Radici reali distinte: a ogni radice x_i corrisponde un termine \frac{A_i}{x - x_i}.
- Radici reali coincidenti di molteplicità m: a ogni radice corrispondono m termini con potenze crescenti del binomio: \frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \cdots + \frac{A_m}{(x-a)^m}.
- Radici complesse coniugate \alpha \pm i\beta: corrispondono a un termine con numeratore lineare \frac{Bx + C}{x^2 - 2\alpha x + (\alpha^2 + \beta^2)}.
Metodo
Dato un denominatore D(x) = (x-a)(x-b)^2(x^2+px+q), la scomposizione avrà la forma: \frac{N(x)}{D(x)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b} + \frac{C}{(x-b)^2} + \frac{Dx+E}{x^2+px+q} I coefficienti A, B, C, \dots si determinano tramite il metodo dei coefficienti indeterminati o il metodo dei residui (per poli semplici: A = \lim_{x\to a}(x-a)\frac{N(x)}{D(x)}).
Significato Ingegneristico
- Integrazione Analitica: È il metodo standard per calcolare gli integrali di funzioni razionali, trasformando il problema originale nella somma di integrali di tipo logaritmico o arcotangente.
- Teoria dei Sistemi (Laplace): La scomposizione in fratti semplici è il passaggio obbligato per calcolare l’antitrasformata di Laplace di una funzione di trasferimento. Ogni “fratto” corrisponde a un modo naturale del sistema (es. un decadimento esponenziale o un’oscillazione).
- Controlli Automatici: Permette di identificare rapidamente i poli di un sistema e il loro contributo relativo alla risposta temporale totale.
- Elettrotecnica: Utilizzata nell’analisi dei transitori di reti RLC per scomporre l’impedenza complessa e tornare nel dominio del tempo.