Fratti Semplici

La scomposizione in fratti semplici è una procedura algebrica che permette di scrivere una funzione razionale $N(x)/D(x)$ (dove il grado di $N$ è minore del grado di $D$) come somma di frazioni i cui denominatori sono i fattori del polinomio $D(x)$.

Casi Principali

1. Radici reali distinte: a ogni radice $x_i$ corrisponde un termine $\frac{A_i}{x - x_i}$.
2. Radici reali coincidenti di molteplicità $m$: a ogni radice corrispondono $m$ termini con potenze crescenti del binomio: $\frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \cdots + \frac{A_m}{(x-a)^m}$.
3. Radici complesse coniugate $\alpha \pm i\beta$: corrispondono a un termine con numeratore lineare $\frac{Bx + C}{x^2 - 2\alpha x + (\alpha^2 + \beta^2)}$.

Metodo

Dato un denominatore $D(x) = (x-a)(x-b)^2(x^2+px+q)$, la scomposizione avrà la forma: $\frac{N(x)}{D(x)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b} + \frac{C}{(x-b)^2} + \frac{Dx+E}{x^2+px+q}$ I coefficienti $A, B, C, \dots$ si determinano tramite il metodo dei coefficienti indeterminati o il metodo dei residui (per poli semplici: $A = \lim_{x\to a}(x-a)\frac{N(x)}{D(x)}$).

Significato Ingegneristico

• Integrazione Analitica: È il metodo standard per calcolare gli integrali di funzioni razionali, trasformando il problema originale nella somma di integrali di tipo logaritmico o arcotangente.
• Teoria dei Sistemi (Laplace): La scomposizione in fratti semplici è il passaggio obbligato per calcolare l’antitrasformata di Laplace di una funzione di trasferimento. Ogni “fratto” corrisponde a un modo naturale del sistema (es. un decadimento esponenziale o un’oscillazione).
• Controlli Automatici: Permette di identificare rapidamente i poli di un sistema e il loro contributo relativo alla risposta temporale totale.
• Elettrotecnica: Utilizzata nell’analisi dei transitori di reti RLC per scomporre l’impedenza complessa e tornare nel dominio del tempo.