Corda vibrante — ingegnerismo.it

Una corda vibrante è il modello fisico di una corda tesa capace di sostenere onde trasversali. È un sistema elementare ma centrale in fisica delle onde meccaniche: permette di collegare tensione, densità lineare, velocità di propagazione, riflessione, onde stazionarie e modi normali.

La corda vibrante non va confusa con la corda della geometria, che è un segmento di una circonferenza. Qui il termine indica un mezzo continuo, sottile e teso, che può spostarsi trasversalmente rispetto alla sua posizione di equilibrio.

Velocità delle onde

Per una corda ideale di tensione $T$ e densità lineare $\mu$ , la velocità di propagazione delle onde trasversali è:

v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}.

La densità lineare è:

\mu=\dfrac{m}{L},

dove $m$ è la massa del tratto di corda e $L$ la sua lunghezza. Aumentare la tensione rende il richiamo elastico più intenso; aumentare la densità lineare rende più difficile accelerare la corda. Per questo la velocità cresce come $\sqrt{T}$ e diminuisce come $1/\sqrt{\mu}$ .

Equazione d’onda

Nel modello ideale di piccole oscillazioni, la corda obbedisce all’equazione delle onde:

\dfrac{\partial^2 y}{\partial t^2} =v^2\dfrac{\partial^2 y}{\partial x^2},

dove $y(x,t)$ è lo spostamento trasversale. Una soluzione armonica progressiva è:

y(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\varphi),

con:

v=\dfrac{\omega}{k}=\lambda f.

L’onda si propaga lungo la corda, ma i punti della corda non viaggiano con l’onda: oscillano localmente.

Energia e potenza

In una corda ideale l’energia oscilla tra energia cinetica della corda e energia potenziale elastica associata alla deformazione. Per un’onda armonica, la potenza media trasportata è:

\overline P=\dfrac{1}{2}\mu v\omega^2A^2.

La potenza cresce con il quadrato dell’ampiezza e con il quadrato della pulsazione. Questa relazione spiega perché corde eccitate con ampiezze maggiori o frequenze più alte trasportano molta più energia, anche se la velocità di propagazione dipende solo da tensione e densità lineare.

Riflessione e impedenza

Quando un’onda raggiunge un vincolo o una giunzione, può riflettersi. Su un estremo fisso lo spostamento deve essere nullo e l’onda riflessa cambia segno; su un estremo libero non c’è inversione di fase.

Tra due corde con stessa tensione ma densità diverse cambia l’impedenza meccanica:

Z_m=\sqrt{T\mu}.

Se le impedenze sono diverse, una parte dell’onda viene riflessa e una parte trasmessa. La frequenza resta fissata dalla sorgente; cambiano velocità, lunghezza d’onda e ampiezze dei treni d’onda.

Onde stazionarie e modi normali

Una corda fissata agli estremi impone due nodi. Le lunghezze d’onda ammesse sono:

\lambda_n=\dfrac{2L}{n}, \qquad n=1,2,3,\ldots

e le frequenze sono:

f_n=n\dfrac{v}{2L}.

La frequenza $f_1$ è la fondamentale; le altre sono armoniche. Ogni $n$ descrive un modo normale con una forma spaziale precisa. Questo modello è alla base della fisica delle corde musicali, ma anche di molti problemi di vibrazione in funi, cavi e strutture snelle.

Limiti del modello

La corda ideale è flessibile, uniforme, perfettamente tesa, non dissipativa e soggetta a piccole oscillazioni. Corde reali hanno rigidezza flessionale, smorzamento, attrito interno, variazioni di diametro, estremi non perfettamente rigidi e accoppiamento con ponticelli, supporti o aria circostante. Questi effetti alterano frequenze, decadimento, timbro e trasmissione dell’energia.

Errori comuni: confondere tensione e periodo perché entrambi possono essere indicati con $T$ ; pensare che la velocità dell’onda dipenda dall’ampiezza; dimenticare che la frequenza resta uguale quando l’onda passa a una corda diversa; usare le armoniche della corda fissata anche per condizioni al contorno differenti.

Vedi anche: Onda progressiva, Onda armonica, Onda stazionaria, Numero d’onda, Equazione delle onde, Modi normali.