Induttanza mutua — ingegnerismo.it

L’induttanza mutua misura quanto il campo magnetico prodotto dalla corrente in un circuito concatena un secondo circuito. È la grandezza che descrive il trasferimento induttivo tra avvolgimenti, bobine, trasformatori, sensori, induttori accoppiati, sistemi di ricarica wireless e circuiti in cui il flusso magnetico non resta confinato al solo componente che lo genera.

In una induttanza ordinaria la corrente di un circuito genera un flusso concatenato nello stesso circuito. Nell’induttanza mutua, invece, parte del flusso prodotto dal circuito 1 concatena anche il circuito 2. Questo accoppiamento fa sì che una variazione di corrente in un avvolgimento produca una tensione indotta nell’altro.

Definizione tramite flusso concatenato

Se la corrente $i_1$ nel circuito 1 produce nel circuito 2 un flusso concatenato $\Lambda_{21}$ , in regime lineare:

\Lambda_{21} = M\,i_1.

Quindi:

M = \dfrac{\Lambda_{21}}{i_1} = \dfrac{N_2\Phi_{21}}{i_1},

dove $N_2$ è il numero di spire del secondo avvolgimento e $\Phi_{21}$ è il flusso, prodotto dal circuito 1, concatenato con ciascuna spira del circuito 2.

Analogamente, la corrente $i_2$ nel circuito 2 può generare nel circuito 1 un flusso concatenato $\Lambda_{12}$ :

\Lambda_{12} = M_{12} i_2.

Per mezzi lineari, passivi e reciproci, vale la reciprocità:

M_{12}=M_{21}=M.

Nella pratica si parla quindi di una sola induttanza mutua $M$ , misurata in henry. Se però il materiale magnetico è non lineare, se ci sono circuiti attivi, ferriti polarizzate o condizioni non reciproche, la descrizione con un unico valore costante può diventare insufficiente.

Tensione indotta

Per la legge di Faraday, una variazione della corrente primaria induce una tensione nel secondo circuito:

v_2 = -\,\dfrac{d\Lambda_{21}}{dt} = -\,M\,\dfrac{di_1}{dt}.

Il segno dipende dalla convenzione dei morsetti omologhi; fisicamente esprime la legge di Lenz, cioè l’opposizione alla variazione di flusso che genera l’induzione.

Se entrambe le correnti variano, le tensioni ai morsetti degli avvolgimenti accoppiati contengono sia il termine di autoinduttanza sia il termine mutuo. Con convenzione passiva:

v_1 = L_1\dfrac{di_1}{dt} \pm M\dfrac{di_2}{dt},

v_2 = L_2\dfrac{di_2}{dt} \pm M\dfrac{di_1}{dt}.

Il segno non è un dettaglio formale: determina se le tensioni indotte si sommano o si sottraggono. Nei circuiti equivalenti di trasformatori, convertitori switching e induttori accoppiati, un segno sbagliato produce correnti, tensioni riflesse e polarità completamente errate.

Convenzione dei punti

La convenzione dei punti indica i morsetti omologhi degli avvolgimenti. Due morsetti sono puntati quando correnti entranti contemporaneamente in quei morsetti generano flussi concordi nel nucleo o nella regione di accoppiamento.

In forma operativa:

se le correnti entrano entrambe nei morsetti puntati, il termine mutuo ha segno positivo nelle equazioni con convenzione passiva coerente;
se una corrente entra nel morsetto puntato e l’altra esce dal morsetto puntato, il termine mutuo cambia segno;
la posizione dei punti non modifica il valore assoluto di $M$ , ma modifica la polarità delle tensioni indotte.

Questa convenzione è indispensabile nei trasformatori con più avvolgimenti, negli alimentatori flyback, nei convertitori isolati, nei sensori induttivi differenziali e in generale in ogni rete con accoppiamento magnetico significativo.

Coefficiente di accoppiamento

L’induttanza mutua non può crescere arbitrariamente rispetto alle autoinduttanze $L_1$ e $L_2$ . Si introduce il coefficiente di accoppiamento:

k = \dfrac{|M|}{\sqrt{L_1L_2}}, \qquad 0\le k\le 1.

Il valore $k=1$ rappresenta accoppiamento ideale, cioè nessun flusso disperso. Nei dispositivi reali $k<1$ perché una parte del flusso prodotto da un avvolgimento non concatena l’altro.

La relazione:

|M|=k\sqrt{L_1L_2}

è utile perché separa due aspetti: le autoinduttanze dipendono dalle caratteristiche dei singoli avvolgimenti, mentre $k$ descrive quanto il flusso è condiviso. Avvolgimenti avvolti sullo stesso nucleo ferromagnetico possono avere $k$ molto vicino a $1$ ; bobine distanti in aria possono avere un coefficiente molto basso.

Il limite $0\le k\le1$ non è una scelta empirica, ma una condizione energetica: se $|M|$ superasse $\sqrt{L_1L_2}$ , l’espressione dell’energia magnetica potrebbe diventare negativa per alcune combinazioni di correnti, cosa impossibile per un sistema passivo lineare.

Energia magnetica

Per due induttori accoppiati linearmente, l’energia magnetica può essere scritta, a seconda della convenzione dei versi di corrente e dei morsetti:

W_m = \dfrac{1}{2}L_1 i_1^2 + \dfrac{1}{2}L_2 i_2^2 \pm M i_1 i_2.

Il termine mutuo può aumentare o diminuire l’energia associata alla coppia di correnti secondo che i flussi siano concordi o discordi. Nei calcoli circuitali questo segno va fissato con la convenzione dei punti.

Una forma equivalente, usando il segno scelto nelle equazioni circuitali, è:

W_m = \dfrac{1}{2}L_1 i_1^2 + \dfrac{1}{2}L_2 i_2^2 + M i_1 i_2.

In questa scrittura $M$ può essere positivo o negativo a seconda della scelta dei versi e dei morsetti. La condizione fisica è che la matrice delle induttanze:

\begin{bmatrix} L_1 & M\\ M & L_2 \end{bmatrix}

sia positiva semidefinita. Da qui discende ancora:

M^2\le L_1L_2.

Distinzione da autoinduttanza

Grandezza	Relazione lineare	Che cosa misura
Autoinduttanza $\displaystyle L$	$\displaystyle \Lambda=L i$	flusso concatenato generato dalla corrente dello stesso circuito
Induttanza mutua $\displaystyle M$	$\displaystyle \Lambda_{21}=M i_1$	flusso concatenato nel secondo circuito generato dal primo
Accoppiamento $\displaystyle k$	$\displaystyle	M

L’autoinduttanza riguarda il rapporto tra corrente e flusso concatenato nello stesso circuito. L’induttanza mutua riguarda invece il rapporto tra una corrente in un circuito e il flusso concatenato in un altro. Per questo due induttori fisicamente vicini non possono sempre essere trattati come elementi indipendenti: se condividono una parte apprezzabile del flusso, le equazioni della rete devono includere il termine mutuo.

Applicazioni

L’induttanza mutua è alla base del trasformatore, ma compare anche in molti altri sistemi:

trasformatori di potenza e di misura;
induttori accoppiati nei convertitori DC-DC;
alimentatori flyback, dove l’accoppiamento magnetico trasferisce energia tra primario e secondario;
sensori induttivi e trasduttori differenziali;
bobine di ricarica wireless;
accoppiamenti indesiderati tra piste, cavi o avvolgimenti;
macchine elettriche, dove statore e rotore interagiscono tramite campi magnetici.

In alcuni casi l’accoppiamento è desiderato e va massimizzato, come nei trasformatori efficienti. In altri è un disturbo, perché induce tensioni parassite, diafonia o interferenze elettromagnetiche. La stessa grandezza $M$ può quindi essere un parametro di progetto o una sorgente di problema.

Non linearità, dispersioni e frequenza

La definizione semplice $\Lambda_{21}=Mi_1$ presuppone un comportamento lineare. Nei nuclei ferromagnetici reali la permeabilità dipende dal punto di lavoro: saturazione, isteresi e correnti parassite rendono l’accoppiamento dipendente da corrente, frequenza e forma d’onda.

A frequenze elevate entrano in gioco capacità parassite, effetto pelle, perdite nel nucleo e flussi dispersi. In quel caso un modello con sole induttanze concentrate può non bastare: si usano circuiti equivalenti con induttanze di dispersione, resistenze di perdita, capacità interavvolgimento e modelli distribuiti.

Errori comuni

Gli errori tipici sono:

usare $M$ come se fosse sempre positiva senza dichiarare la convenzione dei morsetti;
confondere il flusso totale nel nucleo con il flusso concatenato dal secondo avvolgimento;
accettare $k>1$ , che violerebbe i limiti energetici del sistema;
applicare le regole di serie e parallelo degli induttori ignorando l’accoppiamento magnetico;
dimenticare il segno del termine mutuo nelle equazioni di tensione;
trattare come costante un’induttanza mutua in un nucleo vicino alla saturazione;
confondere induttanza mutua e trasferimento ideale di potenza: senza variazione di flusso non c’è tensione indotta ordinaria.

Approfondimenti: induttanza, flusso concatenato, induzione elettromagnetica, circuito magnetico, esercizi su autoinduttanza e mutua induttanza.