L’autoinduttanza L di un circuito quantifica la fem che si oppone alle variazioni della propria corrente:
\varepsilon=-L\dfrac{dI}{dt},\qquad L=\dfrac{N\Phi}{I}.
Si misura in henry (H). Per un solenoide: L=\mu_0 n^2 V=\dfrac{\mu_0 N^2 A}{l}. La mutua induttanza M lega la fem in una bobina alle variazioni di corrente in un’altra: \varepsilon_2=-M\dfrac{dI_1}{dt}. L’energia immagazzinata nel campo magnetico di un induttore è U=\dfrac{1}{2} LI^2.
1. Autoinduttanza di un solenoide
Esercizio. Un solenoide ha N=500 spire, area A=2{,}0\times10^{-3}\ \text{m}^2, lunghezza l=0{,}25\ \text{m}. Calcolare l’autoinduttanza.
L=\dfrac{\mu_0 N^2 A}{l}=\dfrac{4\pi\times10^{-7}\times500^2\times2{,}0\times10^{-3}}{0{,}25}.
Calcolo: \mu_0 N^2=4\pi\times10^{-7}\times2{,}5\times10^5=0{,}314; moltiplicato per A=2{,}0\times10^{-3}: 6{,}28\times10^{-4}; diviso l:
L=\dfrac{6{,}28\times10^{-4}}{0{,}25}=2{,}51\times10^{-3}\ \text{H}=2{,}51\ \text{mH}.
2. fem autoindotta
Esercizio. In un induttore L=2{,}51\ \text{mH} la corrente varia a dI/dt=400\ \text{A/s}. Quale fem autoindotta?
\varepsilon=L\dfrac{dI}{dt}=2{,}51\times10^{-3}\times400=1{,}00\ \text{V}.
3. Autoinduttanza da fem e variazione
Esercizio. Una corrente che varia a dI/dt=50\ \text{A/s} produce una fem autoindotta di 0{,}30\ \text{V}. Calcolare L.
L=\dfrac{\varepsilon}{dI/dt}=\dfrac{0{,}30}{50}=6{,}0\times10^{-3}\ \text{H}=6{,}0\ \text{mH}.
4. Flusso concatenato
Esercizio. Un induttore L=10\ \text{mH} è percorso da I=2{,}0\ \text{A} in N=100 spire. Quale flusso per spira?
Da L=N\Phi/I:
\Phi=\dfrac{LI}{N}=\dfrac{10\times10^{-3}\times2{,}0}{100}=\dfrac{0{,}020}{100}=2{,}0\times10^{-4}\ \text{Wb}.
5. Energia immagazzinata
Esercizio. Un induttore L=50\ \text{mH} è percorso da I=3{,}0\ \text{A}. Quale energia immagazzina nel campo magnetico?
U=\dfrac{1}{2} LI^2=\dfrac{1}{2}\times50\times10^{-3}\times3{,}0^2=\dfrac{1}{2}\times50\times10^{-3}\times9{,}0=0{,}225\ \text{J}.
6. Effetto del numero di spire
Esercizio. Se si raddoppiano le spire di un solenoide (a parità di lunghezza e sezione), come cambia l’induttanza?
Da L\propto N^2:
\dfrac{L_2}{L_1}=\left(\dfrac{N_2}{N_1}\right)^2=2^2=4.
L’induttanza quadruplica: dipendenza quadratica dal numero di spire.
7. Mutua induttanza
Esercizio. Due bobine hanno mutua induttanza M=8{,}0\ \text{mH}. Nella prima la corrente varia a dI_1/dt=300\ \text{A/s}. Quale fem indotta nella seconda?
\varepsilon_2=M\dfrac{dI_1}{dt}=8{,}0\times10^{-3}\times300=2{,}4\ \text{V}.
8. Mutua induttanza da flusso
Esercizio. Una corrente I_1=4{,}0\ \text{A} nella prima bobina produce un flusso concatenato di \Phi_2=1{,}2\times10^{-3}\ \text{Wb} in ciascuna delle N_2=50 spire della seconda. Calcolare M.
Da M=N_2\Phi_2/I_1:
M=\dfrac{N_2\Phi_2}{I_1}=\dfrac{50\times1{,}2\times10^{-3}}{4{,}0}=\dfrac{0{,}060}{4{,}0}=0{,}015\ \text{H}=15\ \text{mH}.
9. Coefficiente di accoppiamento
Il coefficiente di accoppiamento k=\dfrac{M}{\sqrt{L_1 L_2}} (0\le k\le1) misura quanto bene due bobine sono accoppiate.
Esercizio. Due bobine hanno L_1=20\ \text{mH}, L_2=45\ \text{mH}, M=24\ \text{mH}. Calcolare k.
k=\dfrac{M}{\sqrt{L_1 L_2}}=\dfrac{24}{\sqrt{20\times45}}=\dfrac{24}{\sqrt{900}}=\dfrac{24}{30}=0{,}80.
k=0{,}80: buon accoppiamento (vicino a 1 = accoppiamento ideale, come nei trasformatori).
10. Densità di energia del campo magnetico
La densità di energia magnetica è u=\dfrac{B^2}{2\mu_0}.
Esercizio. Calcolare la densità di energia in un campo B=1{,}5\ \text{T}.
u=\dfrac{B^2}{2\mu_0}=\dfrac{1{,}5^2}{2\times4\pi\times10^{-7}}=\dfrac{2{,}25}{2{,}51\times10^{-6}}=8{,}95\times10^5\ \text{J/m}^3.
L’energia immagazzinata in un induttore è la densità integrata sul volume del campo.
11. Transitorio RL in salita
Esercizio. Un circuito serie R=20\ \Omega, L=0{,}50\ \text{H} è alimentato da V=10\ \text{V}. Calcolare la costante di tempo e la corrente dopo una costante di tempo.
La costante di tempo è:
La corrente finale è:
In salita:
Dopo t=\tau:
L’induttore non impedisce la corrente continua finale: si oppone alla variazione iniziale della corrente.
12. Energia dissipata allo spegnimento
Esercizio. Un induttore L=0{,}20\ \text{H} percorso da I=4{,}0\ \text{A} viene scaricato su una resistenza. Quanta energia viene dissipata?
L’energia inizialmente immagazzinata nel campo magnetico è:
Quindi:
Se non ci sono altri accumuli o perdite, questa energia viene dissipata per effetto Joule nella resistenza. È il motivo per cui l’apertura brusca di circuiti induttivi può generare sovratensioni: l’energia del campo deve scaricarsi.
13. Mutua induttanza massima possibile
Esercizio. Due bobine hanno L_1=30\ \text{mH} e L_2=120\ \text{mH}. Qual è la massima mutua induttanza fisicamente possibile?
Il coefficiente di accoppiamento soddisfa
Quindi
Un valore M>60\ \text{mH} sarebbe fisicamente impossibile perché implicherebbe k>1.
Sintesi
| Concetto | Formula |
|---|---|
| Autoinduttanza | L=N\Phi/I |
| Solenoide | L=\mu_0 N^2 A/l |
| fem autoindotta | \varepsilon=-L\,dI/dt |
| Mutua induttanza | \varepsilon_2=-M\,dI_1/dt |
| Energia | U=\dfrac{1}{2} LI^2 |
| Accoppiamento | k=M/\sqrt{L_1 L_2} |
| Costante di tempo RL | \tau=L/R |
L\propto N^2. Densità di energia magnetica: u=B^2/(2\mu_0).
Errori da evitare:
- dimenticare la dipendenza quadratica L\propto N^2;
- confondere autoinduttanza (stessa bobina) e mutua induttanza (tra bobine);
- usare la formula dell’energia elettrica del condensatore per l’induttore (è \dfrac{1}{2} LI^2, non \dfrac{1}{2} CV^2).
- pensare che l’induttore blocchi la corrente a regime continuo: blocca le variazioni, non la corrente costante;
- accettare coefficienti di accoppiamento k>1, fisicamente impossibili.