Criterio di Routh-Hurwitz — ingegnerismo.it

Il criterio di Routh-Hurwitz è un criterio algebrico che determina la stabilità di un sistema continuo a partire dai coefficienti del suo polinomio caratteristico, senza calcolarne esplicitamente le radici. È uno strumento classico dei controlli automatici perché permette di sapere quanti poli cadono nel semipiano destro del piano $s$ , dove produrrebbero modi instabili.

Il criterio è utile quando il denominatore della funzione di trasferimento ha grado elevato, quando contiene parametri di progetto o quando si vuole trovare un intervallo di guadagno che mantenga stabile un anello chiuso. Invece di risolvere un’equazione polinomiale, si costruisce una tabella e si osservano i segni della sua prima colonna.

Polinomio di partenza

Dato:

D(s)=a_n s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0

con $a_n\ne0$ , l’obiettivo è stabilire se tutte le radici hanno parte reale negativa. In un sistema LTI continuo, questa condizione equivale alla stabilità asintotica dei modi naturali:

\operatorname{Re}(p_k)<0 \qquad \text{per ogni radice }p_k.

Una condizione necessaria immediata è che tutti i coefficienti siano non nulli e dello stesso segno, assumendo $a_n>0$ . Se un coefficiente manca o compare un cambio di segno, il polinomio non può essere Hurwitz stabile. Questa condizione però non è sufficiente: servono le disuguaglianze prodotte dalla tabella.

Tabella di Routh

La tabella di Routh dispone i coefficienti in righe associate alle potenze decrescenti di $s$ . Le prime due righe contengono coefficienti alternati:

\begin{array}{c|cccc} s^n & a_n & a_{n-2} & a_{n-4} & \cdots\\ s^{n-1} & a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} & \cdots \end{array}

Le righe successive si calcolano ricorsivamente. Se $r_{i,j}$ indica l’elemento nella riga $i$ e nella colonna $j$ , una forma operativa della ricorrenza è:

r_{i,j} = \dfrac{ r_{i-1,1}r_{i-2,j+1} - r_{i-2,1}r_{i-1,j+1} }{ r_{i-1,1} }.

Gli elementi mancanti si trattano come zeri. La parte decisiva della tabella è la prima colonna. Se non compaiono casi degeneri, il numero di cambi di segno nella prima colonna coincide con il numero di radici nel semipiano destro. Il polinomio è stabile in senso Hurwitz se e solo se tutti gli elementi della prima colonna hanno lo stesso segno.

Esempio cubico

Per un polinomio di terzo grado:

D(s)=a_3s^3+a_2s^2+a_1s+a_0,

la tabella è:

\begin{array}{c|cc} s^3 & a_3 & a_1\\ s^2 & a_2 & a_0\\ s^1 & \dfrac{a_2a_1-a_3a_0}{a_2} & 0\\ s^0 & a_0 & 0 \end{array}

Assumendo coefficienti positivi, le condizioni di stabilità diventano:

a_3>0,\quad a_2>0,\quad a_1>0,\quad a_0>0,\quad a_2a_1>a_3a_0.

La disuguaglianza finale è il punto che la sola positività dei coefficienti non vede. Un sistema può avere tutti i coefficienti positivi e risultare comunque instabile se questa relazione è violata.

Uso con parametri

Uno degli usi più importanti è la ricerca di intervalli ammissibili per un parametro, spesso un guadagno $K$ . In un anello chiuso, il polinomio caratteristico può dipendere da $K$ :

D(s,K)=a_n(K)s^n+\cdots+a_1(K)s+a_0(K).

Costruendo la tabella di Routh e imponendo la positività della prima colonna, si ottiene un sistema di disuguaglianze su $K$ . L’intersezione di queste condizioni dà l’intervallo di guadagno che mantiene i poli del sistema nel semipiano sinistro.

Questa lettura è molto pratica nella sintesi preliminare: prima di ottimizzare prestazioni, overshoot o banda passante, si individua la regione in cui il progetto è almeno stabile.

Casi particolari

Il criterio richiede attenzione quando nella prima colonna compare uno zero. In quel caso la ricorrenza si interrompe perché si dividerebbe per zero. La procedura classica introduce un piccolo parametro $\varepsilon>0$ , completa la tabella e poi valuta il limite per $\varepsilon\to0^+$ .

Un altro caso speciale è una riga interamente nulla. Questo segnala simmetrie nel polinomio e possibili radici sull’asse immaginario. Si costruisce allora un polinomio ausiliario dalla riga precedente, lo si deriva e si usa la riga dei coefficienti derivati per proseguire la tabella. La presenza di radici sull’asse immaginario indica stabilità marginale o instabilità rispetto alla stabilità asintotica, non una stabilità robusta.

Questi casi non sono dettagli burocratici: in controllo automatico, poli sull’asse immaginario possono produrre oscillazioni persistenti, sensibilità a perturbazioni e perdita di margine.

Relazione con altri criteri

Routh-Hurwitz lavora nel dominio algebrico dei coefficienti. Il criterio di Nyquist e i margini di stabilità lavorano invece in frequenza e sono più adatti a discutere robustezza, ritardi, incertezza e comportamento dell’anello aperto.

Il vantaggio di Routh-Hurwitz è che produce condizioni simboliche e non richiede il calcolo numerico delle radici. Il limite è che non dice dove siano precisamente i poli, né quanto sia ampio il margine rispetto all’instabilità. Per prestazioni dinamiche, rapidità e smorzamento bisogna integrare il criterio con analisi dei poli, risposta in frequenza o luogo delle radici.

Errori comuni

Il primo errore è fermarsi alla positività dei coefficienti. È una condizione necessaria, ma non sufficiente per gradi superiori al secondo.

Il secondo errore è applicare il criterio a sistemi discreti nel piano $z$ come se il semipiano sinistro fosse ancora la regione stabile. Nei sistemi discreti la stabilità richiede poli dentro il cerchio unitario; servono trasformazioni o criteri specifici.

Il terzo errore è ignorare righe nulle o zeri nella prima colonna. Sono segnali di casi limite, spesso collegati a radici sull’asse immaginario o a condizioni di stabilità marginale.

Il quarto errore è confondere stabilità con buone prestazioni. Un sistema può essere stabile ma lento, oscillatorio, poco robusto o con margini insufficienti.

Vedi anche: stabilità di un sistema, funzione di trasferimento, polo di un sistema, polinomio caratteristico, criterio di Nyquist e margini di stabilità.