Fluido incomprimibile — ingegnerismo.it

Un fluido incomprimibile è un modello di fluido in cui la densità di ogni particella materiale resta costante durante il moto. In forma materiale:

\dfrac{D\rho}{Dt}=0.

Se il fluido è anche omogeneo, si usa spesso direttamente $\rho=\text{costante}$ . È una buona approssimazione per molti liquidi e per gas a bassa velocità, quando le variazioni relative di densità sono piccole.

Vincolo cinematico

Partendo dall’equazione di continuità:

\dfrac{\partial\rho}{\partial t} +\nabla\cdot(\rho\mathbf v)=0,

si ottiene la forma materiale:

\dfrac{D\rho}{Dt}+\rho\nabla\cdot\mathbf v=0.

Per un fluido incomprimibile, con $\rho>0$ :

\nabla\cdot\mathbf v=0.

Questa relazione non impone velocità costante: impone che il campo di velocità non abbia espansione o contrazione volumetrica locale. In un condotto che si restringe, la velocità aumenta proprio per conservare la portata volumetrica.

Cosa non significa

Ipotesi	Significato	Da non confondere con
Fluido incomprimibile	densità costante lungo il moto	viscosità nulla
Fluido ideale	viscosità nulla	densità necessariamente costante
Fluido newtoniano	sforzo viscoso proporzionale al tasso di deformazione	incomprimibilità
Flusso irrotazionale	vorticità nulla	assenza di compressibilità

Un liquido viscoso può essere trattato come incomprimibile; un gas può essere trattato come incomprimibile solo entro limiti di velocità e variazione di pressione. In aerodinamica subsonica si usa spesso il criterio pratico $M\lesssim0{,}3$ per considerare piccoli gli effetti di comprimibilità.

Impiego nelle equazioni dei fluidi

Nel caso incomprimibile, le equazioni di Navier-Stokes per fluido newtoniano a viscosità costante diventano:

\rho\dfrac{D\mathbf v}{Dt} = -\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf v+\rho\mathbf g, \qquad \nabla\cdot\mathbf v=0.

Nel modello non viscoso, l’equazione di Eulero incomprimibile porta alla forma classica del principio di Bernoulli lungo una linea di corrente stazionaria:

p+\dfrac{1}{2}\rho v^2+\rho gz=\text{costante}.

L’ipotesi fallisce quando onde acustiche, urti, cavitazione, forti variazioni termiche o gas ad alta velocità rendono significativa la variazione di densità.

Vedi anche: equazione di continuità, fluido ideale, fluido newtoniano, numero di Mach.