Equazione di Eulero — ingegnerismo.it

L’equazione di Eulero descrive il moto di un fluido ideale (non viscoso) ed è l’applicazione della seconda legge di Newton alla meccanica dei continui fluidi. In forma vettoriale:

\rho \dfrac{D\mathbf{V}}{Dt} = -\nabla p + \rho \mathbf{g}

dove $\rho$ è la densità, $\mathbf{V}$ il vettore velocità, $p$ la pressione, $\mathbf{g}$ l’accelerazione di gravità e $D/Dt$ la derivata sostanziale (o materiale). Il membro sinistro è la forza di inerzia per unità di volume, il membro destro somma il gradiente di pressione e le forze di volume.

Espandendo la derivata sostanziale in regime stazionario e proiettando l’equazione lungo una linea di corrente (coordinata $s$ ), si ottiene:

\rho V \dfrac{dV}{ds} = -\dfrac{dp}{ds} - \rho g \dfrac{dh}{ds}

Integrando per un fluido incomprimibile si ricava direttamente il principio di Bernoulli. L’equazione di Eulero è quindi la base dalla quale Bernoulli emerge come caso integrato.

Per fluidi viscosi, l’equazione di Eulero si estende aggiungendo il termine viscoso $\mu \nabla^2 \mathbf{V}$ , diventando l’equazione di Navier-Stokes.