La condizione di non scorrimento (no-slip condition), detta anche condizione di aderenza, afferma che la velocità del fluido a contatto con una parete solida coincide con la velocità della parete. È una delle condizioni al contorno più importanti della fluidodinamica viscosa e viene usata nelle equazioni di Navier-Stokes per descrivere il moto vicino a superfici solide.
Se \mathbf{x}_w è un punto della parete e \mathbf{U}_w è la velocità locale della parete, la condizione si scrive:
Per una parete ferma:
Questo non significa che tutto il fluido sia fermo. Significa solo che lo strato infinitamente vicino alla parete ha la stessa velocità della superficie. Allontanandosi dalla parete, la velocità può crescere fino al valore del flusso esterno, formando gradienti di velocità, attrito e strato limite.
Non penetrazione e non scorrimento
Su una parete solida si distinguono due vincoli:
| Condizione | Formula | Significato |
|---|---|---|
| non penetrazione | (\mathbf{v}-\mathbf{U}_w)\cdot\mathbf{n}=0 | il fluido non attraversa la parete |
| non scorrimento | (\mathbf{v}-\mathbf{U}_w)\cdot\mathbf{t}=0 per ogni tangente \mathbf{t} | il fluido non scivola tangenzialmente sulla parete |
La non penetrazione vale anche nei modelli di fluido ideale: impedisce al fluido di entrare nel solido. Il non scorrimento, invece, è una conseguenza della viscosità e dell’interazione microscopica tra molecole del fluido e superficie. Per questo è assente nei modelli inviscidi come l’equazione di Eulero, dove si impone di solito solo il vincolo normale.
Origine fisica
In un fluido reale, le molecole vicine alla parete scambiano quantità di moto con la superficie. L’interazione molecolare, l’adesione superficiale e la viscosità trasferiscono l’informazione della velocità della parete al fluido adiacente. Il risultato macroscopico è che la velocità tangenziale relativa alla parete si annulla.
La condizione non è una legge universale indipendente dalla scala: è un’approssimazione continua estremamente accurata per molti liquidi e gas a scala ordinaria. Funziona perché la lunghezza caratteristica del problema è molto più grande delle scale molecolari e perché il fluido può essere trattato come continuo.
Sforzo tangenziale alla parete
Per un fluido newtoniano in moto localmente parallelo a una parete, il gradiente di velocità normale alla parete genera uno sforzo tangenziale. Se u è la componente tangenziale della velocità e n la coordinata normale:
Qui \mu è la viscosità dinamica. La condizione no-slip impone il valore di u alla parete; la pendenza del profilo vicino alla parete determina invece lo sforzo di taglio. Per questo lo shear parietale non dipende solo dal fatto che la velocità sia nulla sulla parete, ma da quanto rapidamente cresce allontanandosi dalla superficie.
In una lastra piana investita da un flusso, una pendenza elevata del profilo di velocità produce attrito maggiore. In un vaso sanguigno, lo sforzo di taglio parietale dipende dal profilo di velocità vicino alla parete interna. In una carena o in un condotto, la stessa fisica genera attrito viscoso e perdita di energia meccanica.
Conseguenze fluidodinamiche
La condizione di non scorrimento ha conseguenze molto ampie:
| Fenomeno | Collegamento con il no-slip |
|---|---|
| strato limite | la velocità passa dal valore della parete al valore esterno in uno spessore finito |
| attrito di parete | il gradiente di velocità genera sforzo tangenziale |
| perdita di carico | la dissipazione viscosa riduce energia meccanica disponibile |
| vorticità alla parete | il gradiente tangenziale genera rotazione locale del fluido |
| separazione | il flusso vicino alla parete può invertire direzione sotto gradiente di pressione avverso |
| resistenza viscosa | l’integrale degli sforzi tangenziali contribuisce alla resistenza del corpo |
Il concetto di strato limite nasce proprio da questa condizione. In un flusso esterno ad alto numero di Reynolds, la viscosità può essere trascurabile lontano dal corpo, ma non può essere trascurata nella regione vicina alla parete, dove la velocità deve passare dal valore nullo al valore del flusso esterno.
Esempio: flusso di Couette
Nel flusso di Couette piano, un fluido viscoso è compreso tra due lastre parallele. Se la lastra inferiore è ferma e quella superiore si muove con velocità U, la condizione no-slip impone:
Per fluido newtoniano, moto stazionario e assenza di gradiente di pressione, il profilo è lineare:
Lo sforzo tangenziale è costante:
Questo esempio mostra il significato operativo del non scorrimento: la parete non è un semplice contorno geometrico, ma impone valori di velocità che determinano l’intero profilo e lo sforzo viscoso.
CFD e condizioni al bordo
Nella fluidodinamica computazionale, la condizione no-slip deve essere imposta sulla mesh di parete o tramite modelli di parete. Se la mesh risolve direttamente lo strato limite, il gradiente vicino alla parete viene calcolato con celle molto sottili. Se il numero di Reynolds è elevato e lo strato limite turbolento non è risolto, si usano wall functions o modelli equivalenti.
Una condizione al bordo sbagliata può cambiare completamente il risultato: portata in un condotto, resistenza di attrito, separazione, scambio termico, distribuzione di pressione e carichi aerodinamici. In CFD il no-slip non è un dettaglio formale, ma una scelta modellistica che deve essere coerente con scala, fluido, rugosità e regime.
Quando può fallire
Il non scorrimento classico può richiedere correzioni quando la scala del problema diventa confrontabile con le scale molecolari o quando la superficie modifica fortemente l’interazione fluido-parete. I casi principali sono:
- gas rarefatti e alto numero di Knudsen;
- microfluidica e MEMS;
- superfici superidrofobiche o strutturate;
- flussi in nanotubi o canali nanometrici;
- gas in vuoto parziale;
- modelli cinetici in cui il continuo non è più adeguato.
In regime di slip si può usare, in prima approssimazione, una condizione con lunghezza di scorrimento b:
Se b=0, si torna al no-slip classico. Se b è significativo rispetto alla lunghezza caratteristica del problema, lo scorrimento tangenziale non può essere ignorato.
Errori comuni
Il primo errore è pensare che il no-slip imponga velocità nulla in tutto lo strato limite. Impone solo il valore esatto sulla parete; fuori dalla parete la velocità varia.
Il secondo errore è confondere non penetrazione e non scorrimento. Una parete impermeabile impedisce il flusso normale, ma solo la condizione no-slip annulla anche la velocità tangenziale relativa.
Il terzo errore è applicare no-slip in gas rarefatti o microcanali senza controllare il numero di Knudsen. In quei casi possono servire condizioni di slip o modelli cinetici.
Il quarto errore è usare un modello inviscido e aspettarsi attrito di parete. Senza viscosità e senza no-slip, il modello non può generare correttamente strato limite, shear parietale e resistenza viscosa.
Il quinto errore è trascurare la rugosità. Anche quando il no-slip resta valido localmente, la superficie reale può cambiare transizione, attrito, separazione e scambio termico.
Vedi anche: equazioni di Navier-Stokes, strato limite, fluido newtoniano, viscosità, numero di Knudsen e sforzo di taglio parietale.