Un toro è la superficie (o il solido) ottenuta ruotando un cerchio di raggio minore r attorno a un asse complanare posto a distanza R>r dal suo centro. È la forma della camera d’aria o della ciambella: R è il raggio del «buco più la corona», r lo spessore del tubo.
Volume e superficie
Per il toro pieno:
Origine dalle formule di Pappo-Guldino
Entrambe le formule discendono direttamente dai teoremi di Pappo-Guldino. Il baricentro del cerchio generatore percorre una circonferenza di lunghezza 2\pi R, quindi il volume è quel cammino moltiplicato per l’area del cerchio, V=2\pi R\cdot\pi r^2, e la superficie è lo stesso cammino per la lunghezza della circonferenza generatrice, S=2\pi R\cdot 2\pi r. Si nota che V e S coincidono con quelli di un cilindro «srotolato» di lunghezza 2\pi R: il toro è, in un certo senso, un cilindro chiuso ad anello.
Curvatura e topologia
Il toro è anche un oggetto centrale in topologia: è la superficie chiusa di genere uno, cioè con un foro, e non è deformabile con continuità in una sfera (genere zero). Sulla sua superficie convivono regioni a curvatura positiva (la parte esterna, simile a una sfera) e negativa (la parte interna, a sella), il che lo rende l’esempio canonico di superficie a curvatura variabile.
Toro pieno e toro superficie
Occorre distinguere il toro solido (la ciambella piena, di cui si calcola il volume) dalla superficie torica (solo la buccia, di cui si calcola l’area). Le due formule riportate coprono rispettivamente i due casi; quando R\to r il foro centrale si chiude e il modello perde validità geometrica.
Esempio
Un toro con R=10 e r=3 ha volume V=2\pi^2\cdot10\cdot9\approx1776 e superficie S=4\pi^2\cdot10\cdot3\approx1184. Lo stesso risultato per il volume si ottiene moltiplicando l’area del cerchio generatore, 9\pi\approx28{,}3, per la circonferenza del baricentro, 2\pi\cdot10\approx62{,}8.