I teoremi di Pappo-Guldino calcolano volumi e superfici dei solidi di rotazione tramite il cammino percorso dal baricentro della figura generatrice, ruotata attorno a un asse complanare che non la attraversa.
Teorema sul volume
Per una figura piana di area A il cui baricentro dista d dall’asse, il volume del solido generato da una rotazione completa è
cioè l’area moltiplicata per la lunghezza 2\pi d della circonferenza descritta dal baricentro.
Teorema sulla superficie
Per una curva di lunghezza L con baricentro a distanza d dall’asse, la superficie generata è
Potenza del metodo
Il punto di forza è che riducono un problema tridimensionale alla conoscenza di una sola grandezza geometrica, la posizione del baricentro. Applicati a un cerchio ruotato attorno a un asse esterno danno immediatamente volume e superficie del toro; letti al contrario, permettono di localizzare il baricentro di una figura quando si conoscano già il volume o la superficie di rotazione.
Condizione di validità
I teoremi valgono solo se l’asse di rotazione non attraversa la figura generatrice: in caso contrario parti opposte ruoterebbero sovrapponendosi e il conteggio del volume sarebbe falsato. Inoltre la rotazione deve essere completa (2\pi); per una rotazione parziale di angolo \theta basta sostituire 2\pi con \theta nelle formule, poiché il baricentro percorre solo un arco.
Recupero di formule note
Da Pappo-Guldino si riottengono in una riga molti volumi classici. Una semicirconferenza di raggio r ha baricentro a distanza \tfrac{2r}{\pi} dal diametro; ruotandola si genera una sfera, e il teorema della superficie dà S=2\pi\cdot\tfrac{2r}{\pi}\cdot\pi r=4\pi r^2, la nota superficie sferica. Analogamente si ricava il volume del cono ruotando un triangolo rettangolo.
Esempio
Per il toro con cerchio generatore di raggio r=2 il cui centro dista R=5 dall’asse: il baricentro percorre 2\pi\cdot5=10\pi, l’area del cerchio è 4\pi, quindi V=10\pi\cdot4\pi=40\pi^2\approx395; la circonferenza generatrice è 4\pi, quindi S=10\pi\cdot4\pi=40\pi^2 pure, qui numericamente uguale al volume per la scelta dei valori.