Il teorema di Cramér-Wold è un criterio fondamentale per riconoscere la convergenza congiunta di vettori aleatori. L’idea è che la distribuzione di un vettore in \mathbb R^d è determinata da tutte le sue proiezioni lineari unidimensionali.
Se \mathbf X è un vettore aleatorio e a\in\mathbb R^d, la proiezione lineare
è una variabile aleatoria reale. Il teorema afferma che, per controllare la convergenza in distribuzione di \mathbf X_n, è sufficiente controllare la convergenza in distribuzione di tutte queste proiezioni.
Enunciato
Siano \mathbf X_n e \mathbf X vettori aleatori in \mathbb R^d. Allora
se e solo se, per ogni vettore a\in\mathbb R^d,
In altre parole, la convergenza congiunta è equivalente alla convergenza in distribuzione di ogni combinazione lineare delle componenti.
Tavola di lettura
| Oggetto | Formula | Significato |
|---|---|---|
| Vettore aleatorio | \displaystyle \mathbf X_n=(X_{n,1},\ldots,X_{n,d}) | Contiene le componenti da studiare congiuntamente. |
| Proiezione lineare | \displaystyle a^T\mathbf X_n=\sum_{j=1}^d a_jX_{n,j} | Riduce il problema multivariato a una variabile reale. |
| Criterio di convergenza | \displaystyle a^T\mathbf X_n\xrightarrow{d}a^T\mathbf X\quad\forall a\in\mathbb R^d | Equivale a \displaystyle \mathbf X_n\xrightarrow{d}\mathbf X. |
| Caso normale | \displaystyle a^T\mathbf X\sim\mathcal N(a^T\mu,a^T\Sigma a) | Identifica la normale multivariata tramite proiezioni gaussiane. |
Schema operativo
Il teorema è utile quando il vettore limite è difficile da trattare direttamente, ma le combinazioni lineari sono gestibili.
| Passo | Operazione | Controllo |
|---|---|---|
| 1 | Fissare un vettore deterministico \displaystyle a\in\mathbb R^d | Non scegliere solo gli assi canonici. |
| 2 | Studiare la variabile reale \displaystyle a^T\mathbf X_n | Applicare strumenti univariati: funzioni caratteristiche, TLC, Slutsky. |
| 3 | Trovare il limite \displaystyle a^T\mathbf X | Il limite deve valere per ogni \displaystyle a. |
| 4 | Concludere la convergenza congiunta | Ottenere \displaystyle \mathbf X_n\xrightarrow{d}\mathbf X. |
Controllare solo le singole componenti equivale a usare i vettori canonici e_1,\ldots,e_d. Cramér-Wold richiede tutte le direzioni a, perché la dipendenza tra componenti può essere visibile solo lungo combinazioni lineari non coordinate.
Esempio: limite normale multivariato
Supponiamo di voler dimostrare che
Per Cramér-Wold è sufficiente mostrare che, per ogni a\in\mathbb R^d,
Questo è spesso più semplice, perché a^T\mathbf X_n è una statistica reale. Nei teoremi limite multivariati si dimostra quindi un teorema del limite centrale per ogni combinazione lineare e poi si ricostruisce il limite vettoriale.
Perché le marginali non bastano
La convergenza delle singole componenti
non determina la distribuzione congiunta del vettore. Mancano le informazioni sulla dipendenza asintotica.
Il criterio di Cramér-Wold aggiunge esattamente ciò che serve: le proiezioni a^T\mathbf X_n vedono covarianze, correlazioni e dipendenze lineari tra componenti. Nel caso gaussiano, ad esempio,
contiene tutti i termini della matrice di covarianza \Sigma, non solo le varianze marginali.
Collegamento con funzioni caratteristiche
Il teorema è strettamente legato alle funzioni caratteristiche. La funzione caratteristica multivariata di \mathbf X è
Ma \varphi_{\mathbf X}(t) è proprio la funzione caratteristica della variabile reale t^T\mathbf X. Per questo controllare tutte le proiezioni equivale a controllare tutta la funzione caratteristica multivariata.
Errori comuni
- Controllare solo le marginali: verificare X_{n,j}\xrightarrow{d}X_j per ogni componente non basta per ottenere la convergenza congiunta.
- Usare poche direzioni arbitrarie: il criterio richiede ogni a\in\mathbb R^d, non un sottoinsieme finito scelto a mano.
- Dimenticare la dipendenza limite: due vettori possono avere le stesse marginali ma covarianze o dipendenze diverse.
- Confondere il caso normale con il caso generale: per vettori gaussiani media e covarianza determinano tutto; fuori dal caso gaussiano servono le distribuzioni di tutte le proiezioni.
Vedi anche: convergenza congiunta, normale multivariata, funzione caratteristica multivariata, funzione caratteristica, teorema di continuità di Lévy, teorema portmanteau.