Il teorema portmanteau raccoglie diverse caratterizzazioni equivalenti della convergenza in distribuzione. Il nome suggerisce proprio l’idea di un teorema-contenitore: lo stesso concetto può essere riconosciuto attraverso funzioni continue, insiemi chiusi, insiemi aperti o insiemi di continuità della misura limite.
Se
allora non cambia solo la funzione di ripartizione nei punti di continuità: cambiano in modo coerente anche le probabilità assegnate a insiemi sufficientemente regolari e le medie di funzioni test continue e limitate.
Enunciato
Siano X_n e X variabili aleatorie a valori in uno spazio metrico, e siano \mathbb P_{X_n} e \mathbb P_X le rispettive distribuzioni. Le condizioni seguenti sono equivalenti:
| Criterio | Formulazione | Lettura operativa |
|---|---|---|
| Funzioni test | \displaystyle \mathbb E[f(X_n)]\to\mathbb E[f(X)] per ogni \displaystyle f continua e limitata | La distribuzione limite è riconosciuta tramite medie di osservabili regolari. |
| Insiemi chiusi | \displaystyle \limsup_{n\to\infty}\mathbb P(X_n\in F)\le\mathbb P(X\in F) per ogni chiuso \displaystyle F | La massa limite non può accumularsi in eccesso su insiemi chiusi. |
| Insiemi aperti | \displaystyle \liminf_{n\to\infty}\mathbb P(X_n\in G)\ge\mathbb P(X\in G) per ogni aperto \displaystyle G | La massa limite non può sparire dagli intorni aperti. |
| Insiemi di continuità | \displaystyle \mathbb P(X_n\in A)\to\mathbb P(X\in A) se \displaystyle \mathbb P(X\in\partial A)=0 | Le probabilità convergono sugli insiemi il cui bordo non ha massa limite. |
Nel caso reale, questa famiglia di criteri è equivalente alla definizione tramite funzioni di ripartizione:
per ogni punto x in cui F è continua.
Schema operativo
Il teorema è utile quando la funzione di ripartizione non è il modo più comodo per dimostrare una convergenza. La scelta del criterio dipende dal problema:
| Obiettivo | Criterio più naturale | Motivo |
|---|---|---|
| Dimostrare convergenza tramite medie | funzioni continue limitate | Si lavora con aspettative e funzioni test. |
| Controllare eventi geometrici | aperti e chiusi | Gli eventi sono descritti da insiemi dello spazio degli stati. |
| Passare a probabilità di intervalli o regioni | insiemi di continuità | Il bordo non deve trattenere massa della distribuzione limite. |
| Collegare limiti e trasformazioni | funzioni continue | Si combina con il teorema della mappatura continua. |
Perché il bordo è importante
Il punto delicato è il bordo dell’insieme. Se A ha bordo \partial A con probabilità limite nulla, allora l’evento X_n\in A è stabile rispetto a piccole perturbazioni asintotiche:
Se invece la distribuzione limite assegna massa al bordo, una piccola oscillazione di X_n può cambiare in modo non trascurabile la probabilità dell’evento.
Esempio operativo
Se X_n\xrightarrow{d}X e la distribuzione limite non assegna massa agli estremi a e b, allora l’intervallo (a,b] è un insieme di continuità per la legge di X:
Il teorema portmanteau permette quindi di passare direttamente alle probabilità dell’intervallo:
Questa forma è frequente quando una statistica normalizzata converge a una normale continua: le probabilità asintotiche di intervalli si ottengono controllando che i bordi dell’intervallo non siano punti di massa della distribuzione limite.
Collegamento con la mappatura continua
Il teorema della mappatura continua può essere letto come una conseguenza naturale della stabilità della convergenza debole rispetto alle funzioni continue. Se
e g è continua, allora
Il teorema portmanteau fornisce il quadro generale: la convergenza in distribuzione è la convergenza delle distribuzioni quando vengono osservate attraverso funzioni o insiemi che non vedono salti della misura limite.
Errori comuni
- Usare insiemi con bordo carico di massa: se \mathbb P(X\in\partial A)>0, la convergenza di \mathbb P(X_n\in A) non è garantita.
- Confondere convergenza degli eventi con convergenza quasi certa: il teorema riguarda distribuzioni, non traiettorie punto per punto.
- Sostituire funzioni continue con funzioni discontinue senza controllo: indicatori e soglie richiedono una verifica sul bordo o sui punti di discontinuità.
Vedi anche: convergenza in distribuzione, teorema di continuità di Lévy, teorema della mappatura continua, convergenza congiunta.