Teorema della mappatura continua

Il teorema della mappatura continua stabilisce che una convergenza di variabili aleatorie può essere trasferita attraverso una funzione continua. È uno dei risultati più usati nella statistica asintotica perché permette di passare dal limite di uno stimatore al limite di una sua trasformazione.

Nella forma più comune, se

X_n\xrightarrow{d}X

e $g$ è continua, allora

g(X_n)\xrightarrow{d}g(X).

Qui $\xrightarrow{d}$ indica convergenza in distribuzione. Il teorema vale anche per vettori aleatori, quindi si applica naturalmente alla convergenza congiunta.

Enunciato

Siano $X_n$ e $X$ variabili aleatorie a valori in uno spazio metrico, e sia $g$ una funzione continua nei punti rilevanti del limite. Se

X_n\xrightarrow{d}X,

allora

g(X_n)\xrightarrow{d}g(X).

Nel caso vettoriale, se

Z_n=(X_{n,1},\dots,X_{n,k})\xrightarrow{d}Z=(X_1,\dots,X_k),

allora per ogni funzione continua $g:\mathbb R^k\to\mathbb R^m$ vale

g(Z_n)\xrightarrow{d}g(Z).

Schema operativo

Situazione	Funzione continua	Conclusione
$\displaystyle X_n\xrightarrow{d}X$	$\displaystyle g(x)=ax+b$	$\displaystyle aX_n+b\xrightarrow{d}aX+b$
$\displaystyle (X_n,Y_n)\xrightarrow{d}(X,Y)$	$\displaystyle g(x,y)=x+y$	$\displaystyle X_n+Y_n\xrightarrow{d}X+Y$
$\displaystyle (X_n,Y_n)\xrightarrow{d}(X,Y)$	$\displaystyle g(x,y)=xy$	$\displaystyle X_nY_n\xrightarrow{d}XY$
$\displaystyle (X_n,Y_n)\xrightarrow{d}(X,Y)$ e $\displaystyle Y\ne0$ quasi certamente	$\displaystyle g(x,y)=x/y$	$\displaystyle \dfrac{X_n}{Y_n}\xrightarrow{d}\dfrac{X}{Y}$

La tabella va letta in due passaggi: prima si stabilisce la convergenza del vettore di partenza, poi si applica la funzione continua al limite. La continuità è la proprietà che impedisce alla trasformazione di introdurre salti nel passaggio al limite.

Collegamento con Slutsky

Il teorema di Slutsky si può leggere come una conseguenza del teorema della mappatura continua più un fatto di convergenza congiunta. Se

X_n\xrightarrow{d}X, \qquad Y_n\xrightarrow{P}c,

allora

(X_n,Y_n)\xrightarrow{d}(X,c).

Applicando funzioni continue come

g_1(x,y)=x+y, \qquad g_2(x,y)=xy, \qquad g_3(x,y)=\dfrac{x}{y},

si ottengono somma, prodotto e quoziente di Slutsky, con la condizione $c\ne0$ per il quoziente.

Collegamento con il metodo delta

Il metodo delta è una versione più fine dello stesso principio. La mappatura continua dice che, se $X_n$ converge a $\theta$ , allora $g(X_n)$ converge a $g(\theta)$ quando $g$ è continua. Il metodo delta aggiunge un’informazione di scala: descrive la distribuzione limite dell’errore trasformato quando $g$ è derivabile.

In sintesi:

X_n\xrightarrow{P}\theta \quad\Longrightarrow\quad g(X_n)\xrightarrow{P}g(\theta)

per continuità, mentre il metodo delta studia

\sqrt n\bigl(g(X_n)-g(\theta)\bigr).

Errori comuni

Applicare il teorema a funzioni discontinue: indicatori, soglie e funzioni a gradino richiedono attenzione, perché una discontinuità nel punto limite può cambiare la distribuzione limite.
Dimenticare la convergenza congiunta: per funzioni di più variabili non basta conoscere le convergenze marginali; serve il limite del vettore.
Usare il quoziente senza controllare il denominatore: la funzione $g(x,y)=x/y$ è continua solo dove $y\ne0$ .

Vedi anche: convergenza congiunta, teorema portmanteau, teorema di Slutsky, metodo delta.