Convergenza congiunta — ingegnerismo.it

La convergenza congiunta descrive il comportamento limite simultaneo di più successioni di variabili aleatorie. È il linguaggio corretto quando non basta sapere come convergono le singole componenti, ma serve conoscere anche la loro dipendenza asintotica.

Per due successioni $X_n$ e $Y_n$ , dire che c’è convergenza congiunta in distribuzione significa studiare il vettore aleatorio

(X_n,Y_n) \xrightarrow{d} (X,Y).

La notazione $\xrightarrow{d}$ è la stessa della convergenza in distribuzione, ma applicata al vettore nel suo complesso.

Definizione

Siano $Z_n=(X_{n,1},\dots,X_{n,k})$ e $Z=(X_1,\dots,X_k)$ vettori aleatori in $\mathbb R^k$ . Si dice che $Z_n$ converge in distribuzione a $Z$ se

Z_n\xrightarrow{d}Z.

Equivalentemente, le funzioni di ripartizione congiunte convergono nei punti di continuità della funzione di ripartizione di $Z$ :

F_{Z_n}(z_1,\dots,z_k) \longrightarrow F_Z(z_1,\dots,z_k).

Non è sufficiente controllare separatamente le marginali $X_{n,i}$ . Due successioni possono avere le stesse distribuzioni marginali limite ma una diversa struttura di dipendenza congiunta.

Un criterio utile per passare dal problema vettoriale a problemi reali è il teorema di Cramér-Wold: in $\mathbb R^k$ basta controllare tutte le proiezioni lineari $a^TZ_n$ .

Confronto con le convergenze marginali

Informazione disponibile	Cosa garantisce	Cosa può mancare
$\displaystyle X_n\xrightarrow{d}X$ e $\displaystyle Y_n\xrightarrow{d}Y$ separatamente	limiti marginali	dipendenza tra $\displaystyle X$ e $\displaystyle Y$
$\displaystyle (X_n,Y_n)\xrightarrow{d}(X,Y)$	distribuzione limite del vettore	nulla sulla vicinanza puntuale delle realizzazioni
$\displaystyle (X_n,Y_n)\xrightarrow{P}(X,Y)$	convergenza simultanea in probabilità	più forte della sola convergenza in distribuzione

La convergenza congiunta è quindi una richiesta strutturale: conserva non solo le distribuzioni delle singole componenti, ma anche correlazioni, covarianze e dipendenze limite quando sono presenti.

Perché serve

Molti risultati di statistica asintotica combinano più quantità casuali: uno stimatore, una stima della varianza, un residuo, un vincolo o una trasformazione. Se tutte le parti hanno limiti non degeneri, occorre conoscere il limite del vettore.

Un caso tipico è una coppia di statistiche normalizzate:

\begin{pmatrix} X_n \\ Y_n \end{pmatrix} \xrightarrow{d} \mathcal N\!\left( \begin{pmatrix} \mu_X \\ \mu_Y \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \sigma_X^2 & \sigma_{XY} \\ \sigma_{XY} & \sigma_Y^2 \end{pmatrix} \right).

La matrice di covarianza del limite contiene l’informazione che andrebbe persa guardando solo le due marginali.

Collegamento con Slutsky

Il teorema di Slutsky è un caso particolarmente favorevole. Se

X_n\xrightarrow{d}X, \qquad Y_n\xrightarrow{P}c,

allora la convergenza congiunta verso $(X,c)$ è garantita:

(X_n,Y_n)\xrightarrow{d}(X,c).

Da qui seguono somma, prodotto e quoziente tramite funzioni continue. Se invece anche $Y_n$ converge solo in distribuzione verso una variabile aleatoria non degenere $Y$ , la convergenza marginale di $X_n$ e $Y_n$ non basta: bisogna conoscere direttamente il limite congiunto $(X,Y)$ .

Schema operativo

Quando si combina un’espressione asintotica, il controllo procede così:

Identificare le componenti casuali dell’espressione.
Stabilire se qualche componente converge in probabilità a una costante.
Se tutte le componenti residue hanno limiti aleatori, cercare una convergenza congiunta.
Applicare una funzione continua al vettore limite.

In forma compatta:

(X_n,Y_n)\xrightarrow{d}(X,Y) \quad\Longrightarrow\quad g(X_n,Y_n)\xrightarrow{d}g(X,Y)

quando $g$ è continua nei punti rilevanti del limite. Questo passaggio è formalizzato dal teorema della mappatura continua.

Lo schema è alla base del metodo delta, delle statistiche studentizzate e dell’analisi congiunta di stimatori correlati.

Errori comuni

Confondere marginale e congiunto: sapere che $X_n$ e $Y_n$ convergono separatamente non determina la distribuzione limite della coppia.
Assumere indipendenza senza verificarla: indipendenza marginale o campionaria non sempre sopravvive nel limite se le statistiche condividono dati o parametri stimati.
Usare Slutsky fuori ipotesi: se il secondo termine converge a una variabile aleatoria non costante, serve la convergenza congiunta, non solo la convergenza marginale.

Vedi anche: vettore aleatorio, covarianza, teorema di Cramér-Wold, convergenza in probabilità, teorema della mappatura continua, teorema di Slutsky.