Il teorema di Slutsky è un risultato fondamentale della probabilità asintotica. Permette di combinare una successione che converge in distribuzione con una successione che converge in probabilità verso una costante.
Se
allora valgono le convergenze
per c\ne0 nell’ultimo caso.
Qui \xrightarrow{d} indica convergenza in distribuzione, mentre \xrightarrow{P} indica convergenza in probabilità.
Schema operativo
Il risultato si usa quando una parte dell’espressione porta la distribuzione limite e l’altra parte è una stima che diventa asintoticamente deterministica:
| Ipotesi | Operazione | Limite |
|---|---|---|
| \displaystyle X_n\xrightarrow{d}X, \displaystyle Y_n\xrightarrow{P}c | somma | \displaystyle X_n+Y_n\xrightarrow{d}X+c |
| \displaystyle X_n\xrightarrow{d}X, \displaystyle Y_n\xrightarrow{P}c | prodotto | \displaystyle X_nY_n\xrightarrow{d}cX |
| \displaystyle X_n\xrightarrow{d}X, \displaystyle Y_n\xrightarrow{P}c\ne0 | quoziente | \displaystyle \dfrac{X_n}{Y_n}\xrightarrow{d}\dfrac{X}{c} |
In forma sintetica:
per le funzioni continue g(x,y)=x+y, g(x,y)=xy e, se c\ne0, g(x,y)=x/y. Questo passaggio usa il teorema della mappatura continua.
Perché serve
Il teorema è essenziale in statistica inferenziale perché consente di sostituire parametri ignoti con stimatori consistenti dentro distribuzioni limite. Per esempio, se una statistica normalizzata converge a una normale standard ma contiene una varianza ignota, Slutsky giustifica l’uso di uno stimatore consistente della varianza senza cambiare la distribuzione limite.
Un caso tipico è
Se \sigma>0, allora
Lettura operativa
Slutsky formalizza una regola molto usata: una quantità che converge in probabilità a una costante può essere trattata, al limite, come quella costante quando moltiplica, somma o divide una quantità con distribuzione limite.
Il teorema non dice che X_n e Y_n debbano essere indipendenti. Il punto decisivo è che Y_n si concentri su una costante. Se invece Y_n convergesse in distribuzione verso una variabile aleatoria non degenere, servirebbero ipotesi aggiuntive sulla convergenza congiunta.
Errori comuni
- Usare Slutsky con un limite aleatorio non degenere: se Y_n\xrightarrow{d}Y e Y non è costante, il teorema non basta; occorre controllare la convergenza congiunta di (X_n,Y_n).
- Dimenticare la condizione sul denominatore: nel quoziente serve c\ne0, altrimenti la divisione può amplificare il rumore invece di stabilizzarlo.
- Confondere convergenza in distribuzione e convergenza in probabilità: la convergenza in probabilità verso una costante è più forte e permette di trattare quella quantità come deterministica al limite.