Metodo delta — ingegnerismo.it

Il metodo delta usa lo sviluppo di Taylor per trovare la distribuzione limite di una funzione di uno stimatore. Raffina il teorema della mappatura continua: non dice solo che la trasformazione converge, ma quantifica come si propaga l’errore asintotico.

\sqrt n(X_n-\theta)\xrightarrow{d}\mathcal N(0,\sigma^2)

e $g$ è derivabile con $g'(\theta)\ne0$ , allora

\sqrt n\bigl(g(X_n)-g(\theta)\bigr) \xrightarrow{d} \mathcal N(0,\sigma^2[g'(\theta)]^2).

Idea tramite Taylor

L’idea è approssimare $g(X_n)$ vicino a $\theta$ :

g(X_n)\approx g(\theta)+g'(\theta)(X_n-\theta).

Moltiplicando per $\sqrt n$ , l’errore trasformato diventa circa l’errore originale moltiplicato per la derivata:

\sqrt n\bigl(g(X_n)-g(\theta)\bigr) \approx g'(\theta)\sqrt n(X_n-\theta).

Per questo la varianza asintotica viene moltiplicata per $[g'(\theta)]^2$ .

Caso multivariato

Se $X_n$ è un vettore e:

\sqrt n(X_n-\theta)\xrightarrow{d}\mathcal N(0,\Sigma),

con $g:\mathbb{R}^k\to\mathbb{R}$ differenziabile, allora:

\sqrt n\bigl(g(X_n)-g(\theta)\bigr) \xrightarrow{d} \mathcal N\left(0,\nabla g(\theta)^T\Sigma\nabla g(\theta)\right).

Questa forma è molto usata per stimare varianze di funzioni di più parametri: rapporti, differenze relative, elasticità, odds ratio, trasformazioni logaritmiche e indici compositi.

Esempio

Se $\widehat{\theta}$ è uno stimatore asintoticamente normale e interessa $\log\theta$ , con $\theta>0$ , allora:

g(\theta)=\log\theta, \qquad g'(\theta)=\frac{1}{\theta}.

La varianza asintotica della trasformazione logaritmica è quindi la varianza originale divisa per $\theta^2$ . In pratica si sostituisce spesso $\theta$ con $\widehat{\theta}$ nello standard error stimato.

Derivata nulla

La forma di primo ordine richiede $g'(\theta)\ne0$ . Se $g'(\theta)=0$ , il termine lineare di Taylor scompare e bisogna usare un ordine superiore. Per esempio, se $g(x)=x^2$ e $\theta=0$ , la trasformazione non conserva una normale asintotica ordinaria: compare una distribuzione legata al quadrato della normale limite.

Questo è uno dei limiti più importanti del metodo: non basta che $g$ sia continua o derivabile, serve che il termine dominante dello sviluppo sia identificato correttamente.

Applicazioni

È usato per propagazione dell’errore, intervalli di confidenza trasformati e stime di funzioni non lineari dei parametri. Esempi tipici:

logaritmo di un rischio relativo;
odds ratio in regressione logistica;
coefficiente di variazione;
elasticità stimata;
trasformazioni di medie e varianze;
funzioni di parametri di affidabilità.

Errori comuni

Un errore frequente è applicare il metodo delta a campioni piccoli come se fosse esatto. Il risultato è asintotico: può essere debole se la distribuzione è molto asimmetrica, se lo stimatore è vicino al bordo del parametro o se la funzione è fortemente non lineare nella regione di incertezza.

Vedi anche: Teorema della mappatura continua, Distribuzione normale, Intervallo di confidenza.