Il teorema di continuità di Lévy caratterizza la convergenza in distribuzione attraverso le funzioni caratteristiche. È uno degli strumenti più usati nelle dimostrazioni asintotiche, perché trasforma un problema sulle distribuzioni in un problema di convergenza puntuale nel dominio di Fourier.
Per una variabile aleatoria reale X, la funzione caratteristica è
Il teorema dice quando il limite delle funzioni caratteristiche è ancora una funzione caratteristica e quando tale limite identifica una distribuzione limite.
Il problema statico complementare è trattato dal teorema di Bochner: lì non si parte da una successione, ma da una singola funzione candidata e si controllano normalizzazione, continuità e positiva-definitezza.
Enunciato
Siano X_n variabili aleatorie reali con funzioni caratteristiche \varphi_{X_n}. Il teorema ha due direzioni complementari:
| Direzione | Ipotesi | Conclusione |
|---|---|---|
| Diretta | \displaystyle X_n\xrightarrow{d}X | \displaystyle \varphi_{X_n}(t)\to\varphi_X(t) per ogni \displaystyle t\in\mathbb R |
| Inversa | \displaystyle \varphi_{X_n}(t)\to\varphi(t) per ogni \displaystyle t e \displaystyle \varphi è continua in \displaystyle 0 | \displaystyle \varphi è una funzione caratteristica e \displaystyle X_n\xrightarrow{d}X per una variabile \displaystyle X con \displaystyle \varphi_X=\varphi |
La continuità in 0 è la condizione che impedisce al limite puntuale di perdere massa probabilistica. Senza questa ipotesi, il limite di funzioni caratteristiche potrebbe non rappresentare alcuna distribuzione di probabilità.
Schema operativo
Il teorema è particolarmente efficace quando la funzione di ripartizione è difficile da manipolare direttamente.
| Passo | Operazione | Controllo |
|---|---|---|
| 1 | Calcolare \displaystyle \varphi_{X_n}(t) | Esplicitare dipendenza da \displaystyle n e da \displaystyle t. |
| 2 | Studiare il limite puntuale | Trovare \displaystyle \varphi(t)=\lim_{n\to\infty}\varphi_{X_n}(t). |
| 3 | Verificare la continuità in \displaystyle 0 | Serve per garantire che \displaystyle \varphi sia una funzione caratteristica. |
| 4 | Identificare la legge limite | Se possibile riconoscere \displaystyle \varphi come funzione caratteristica nota. |
| 5 | Concludere | Ottenere \displaystyle X_n\xrightarrow{d}X. |
Esempio: limite normale
Il caso classico è la dimostrazione del teorema del limite centrale. Se Y_1,Y_2,\ldots sono indipendenti, identicamente distribuite, con media 0 e varianza 1, si considera
Per indipendenza,
Se la varianza è finita, lo sviluppo locale della funzione caratteristica dà
Ponendo u=t/\sqrt n,
Poiché e^{-t^2/2} è la funzione caratteristica della normale standard, il teorema di continuità di Lévy permette di concludere:
Rapporto con il teorema portmanteau
Il teorema portmanteau descrive la stessa convergenza debole tramite funzioni continue limitate, insiemi aperti, insiemi chiusi e insiemi di continuità. Il teorema di Lévy usa invece un insieme speciale di funzioni test:
Queste funzioni oscillanti codificano completamente la distribuzione, come formalizzato dal teorema di inversione per funzioni caratteristiche. Per questo la convergenza delle funzioni caratteristiche, con il controllo di continuità in 0, è sufficiente per recuperare la convergenza in distribuzione.
Errori comuni
- Dimenticare la continuità in zero: il limite puntuale va controllato in 0, non solo calcolato per t\ne0.
- Confondere MGF e funzione caratteristica: la funzione generatrice dei momenti può non esistere; la funzione caratteristica esiste sempre.
- Riconoscere male la legge limite: dopo aver trovato \varphi(t) bisogna verificare che corrisponda davvero alla distribuzione dichiarata.
- Applicare il prodotto senza indipendenza: per scrivere la funzione caratteristica di una somma come prodotto servono variabili indipendenti.
Vedi anche: funzione caratteristica, teorema di Bochner, teorema di inversione per funzioni caratteristiche, convergenza in distribuzione, teorema portmanteau, teorema del limite centrale.