Il teorema di inversione per funzioni caratteristiche formalizza il fatto che una funzione caratteristica contiene tutta l’informazione sulla distribuzione di una variabile aleatoria. Se si conosce
si può ricostruire la legge di X tramite formule di inversione di tipo Fourier. Questo risultato spiega perché due variabili aleatorie con la stessa funzione caratteristica hanno la stessa distribuzione.
Enunciato sugli intervalli
Sia X una variabile aleatoria reale con funzione caratteristica \varphi_X e funzione di ripartizione F_X. Se a<b sono punti di continuità di F_X, allora
La formula recupera la probabilità assegnata a un intervallo senza conoscere direttamente densità o funzione di ripartizione. I punti di continuità servono a evitare ambiguità sugli atomi presenti agli estremi dell’intervallo.
Forme operative
Il teorema ha forme diverse a seconda dell’informazione che si vuole recuperare:
| Obiettivo | Formula | Ipotesi pratica |
|---|---|---|
| Probabilità di intervallo | \displaystyle \mathbb P(a<X\le b)=\lim_{T\to\infty}\dfrac{1}{2\pi}\int_{-T}^{T}\dfrac{e^{-ita}-e^{-itb}}{it}\,\varphi_X(t)\,dt | \displaystyle a,b punti di continuità di \displaystyle F_X |
| Densità | \displaystyle f_X(x)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-itx}\varphi_X(t)\,dt | \displaystyle \varphi_X\in L^1(\mathbb R) e densità regolare |
| Massa atomica | \displaystyle \mathbb P(X=x)=\lim_{T\to\infty}\dfrac{1}{2T}\int_{-T}^{T}e^{-itx}\varphi_X(t)\,dt | utile per riconoscere componenti discrete |
La forma con la densità è la più vicina alla trasformata di Fourier inversa. La forma sugli intervalli è più generale, perché non richiede che la distribuzione abbia una densità.
Schema operativo
| Passo | Azione | Scopo |
|---|---|---|
| 1 | Calcolare \displaystyle \varphi_X(t) | Portare la distribuzione nel dominio delle frequenze. |
| 2 | Scegliere la formula di inversione | Decidere se servono intervalli, densità o masse puntuali. |
| 3 | Verificare le ipotesi | Controllare continuità degli estremi o integrabilità di \displaystyle \varphi_X. |
| 4 | Eseguire l’integrale inverso | Recuperare probabilità, densità o atomi. |
| 5 | Interpretare il risultato | Tornare alla distribuzione nel dominio originario. |
Esempio: densità normale
La normale standard ha funzione caratteristica
Poiché questa funzione è integrabile, la densità si ricava con l’inversione:
Completando il quadrato nell’integrale gaussiano si ottiene
cioè la densità della distribuzione \mathcal N(0,1).
Collegamento con continuità di Lévy
Il teorema di continuità di Lévy dice che la convergenza delle funzioni caratteristiche, con continuità del limite in 0, implica la convergenza in distribuzione. Il teorema di inversione è il risultato strutturale che rende possibile questa conclusione: la funzione caratteristica determina la distribuzione.
In sintesi:
| Risultato | Domanda | Risposta |
|---|---|---|
| Bochner | \displaystyle \varphi è una funzione caratteristica valida? | Sì se è normalizzata, continua e positiva-definita. |
| Inversione | \displaystyle \varphi_X determina la legge di \displaystyle X? | Sì, tramite formule di inversione. |
| Continuità di Lévy | \displaystyle \varphi_{X_n}\to\varphi implica \displaystyle X_n\xrightarrow{d}X? | Sì, se il limite è continuo in \displaystyle 0. |
Errori comuni
- Confondere inversione e continuità di Lévy: l’inversione ricostruisce una distribuzione da una funzione caratteristica; la continuità di Lévy riguarda limiti di successioni.
- Applicare la formula di densità senza integrabilità: se \varphi_X non è in L^1, la distribuzione può esistere comunque, ma la formula per la densità richiede più cautela.
- Ignorare gli atomi agli estremi: nelle formule sugli intervalli gli estremi devono essere punti di continuità della funzione di ripartizione.
- Dimenticare le convenzioni di Fourier: i fattori 2\pi e i segni nell’esponenziale dipendono dalla convenzione adottata.
Vedi anche: funzione caratteristica, teorema di Bochner, teorema di continuità di Lévy, trasformata di Fourier, convergenza in distribuzione.