Teorema di Bochner — ingegnerismo.it

Il teorema di Bochner caratterizza le funzioni che possono essere funzioni caratteristiche. Risponde alla domanda inversa rispetto al calcolo usuale: data una funzione candidata $\varphi$ , quando esiste una misura di probabilità $\mu$ tale che

\varphi(t)=\int_{\mathbb R^d} e^{i\,t^Tx}\,d\mu(x)?

Nel linguaggio della probabilità, il teorema dice quando $\varphi$ è la funzione caratteristica multivariata di un vettore aleatorio in $\mathbb R^d$ .

Enunciato

Una funzione $\varphi:\mathbb R^d\to\mathbb C$ è funzione caratteristica di una misura di probabilità su $\mathbb R^d$ se e solo se soddisfa tre condizioni:

Condizione	Formula	Significato
Normalizzazione	$\displaystyle \varphi(0)=1$	La massa totale della misura è uno.
Continuità	$\displaystyle \varphi\text{ continua in }0$	Esclude candidati incompatibili con una probabilità.
Positiva-definitezza	$\displaystyle \sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n c_j\overline{c_k}\,\varphi(t_j-t_k)\ge0$	Ogni matrice costruita da $\displaystyle \varphi(t_j-t_k)$ deve essere semidefinita positiva.

La condizione di positiva-definitezza vale per ogni intero $n$ , per ogni scelta di punti $t_1,\ldots,t_n\in\mathbb R^d$ e per ogni scelta di coefficienti complessi $c_1,\ldots,c_n$ .

Matrice di Bochner

La verifica può essere letta come un test matriciale. Dati punti di prova $t_1,\ldots,t_n$ , si costruisce la matrice

B_{jk}=\varphi(t_j-t_k).

Il teorema richiede che $B$ sia semidefinita positiva per ogni insieme finito di punti. In forma quadratica:

c^*Bc = \sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n c_j\overline{c_k}\,\varphi(t_j-t_k) \ge0.

Questa proprietà è la versione probabilistica della positività delle matrici di covarianza: una funzione caratteristica non può assegnare valori arbitrari alle frequenze, perché deve generare matrici coerenti con una misura positiva.

Uso nei kernel stazionari

La stessa struttura spiega perché molti kernel invarianti per traslazione sono validi nei metodi kernel. Se

K(x,y)=\kappa(x-y), \qquad \kappa(0)=1,

allora Bochner permette di leggere $\kappa$ come media di esponenziali complessi:

\kappa(\delta) = \int_{\mathbb R^d} e^{i\,\omega^T\delta}\,dp(\omega).

Quando il kernel è reale e pari, la parte immaginaria si cancella e resta una media di coseni. Le Random Fourier features sfruttano proprio questa rappresentazione: campionano frequenze $\omega$ dalla misura spettrale $p$ e costruiscono feature sinusoidali finite che approssimano il kernel.

Schema operativo

Passo	Controllo	Esito atteso
1	Verificare $\displaystyle \varphi(0)=1$	La funzione è normalizzata come una probabilità.
2	Controllare la continuità in $\displaystyle 0$	Il candidato non perde massa nel passaggio al limite.
3	Costruire $\displaystyle B_{jk}=\varphi(t_j-t_k)$	Si ottiene una matrice hermitiana per ogni scelta dei punti.
4	Verificare $\displaystyle c^*Bc\ge0$	La matrice è semidefinita positiva.
5	Concludere	Esiste una legge di probabilità con funzione caratteristica $\displaystyle \varphi$ .

Esempio: normale multivariata

La funzione

\varphi(t)= \exp\!\left( i\,t^T\mu-\dfrac{1}{2}t^T\Sigma t \right)

è una funzione caratteristica quando $\Sigma$ è simmetrica semidefinita positiva. Infatti corrisponde alla legge normale multivariata con media $\mu$ e matrice di covarianza $\Sigma$ .

La parte quadratica $t^T\Sigma t$ è compatibile con Bochner proprio perché una matrice di covarianza è semidefinita positiva. Se $\Sigma$ avesse un autovalore negativo, la formula non potrebbe descrivere una distribuzione di probabilità.

Rapporto con Lévy e inversione

Il teorema di continuità di Lévy riguarda limiti di funzioni caratteristiche: se $\varphi_{X_n}(t)\to\varphi(t)$ e il limite è continuo in $0$ , allora $\varphi$ è ancora una funzione caratteristica. Il teorema di Bochner è più statico: caratterizza direttamente le funzioni ammissibili tramite positiva-definitezza.

Il teorema di inversione per funzioni caratteristiche, invece, spiega come ricostruire la distribuzione una volta che si sa già che $\varphi$ è una funzione caratteristica.

Risultato	Domanda	Risposta
Bochner	$\displaystyle \varphi$ è una funzione caratteristica valida?	Sì se è normalizzata, continua e positiva-definita.
Inversione	Quale distribuzione corrisponde a $\displaystyle \varphi$ ?	La distribuzione si recupera tramite inversione di Fourier.
Continuità di Lévy	Un limite puntuale di funzioni caratteristiche è ancora valido?	Sì se il limite è continuo in $\displaystyle 0$ .

Errori comuni

Controllare solo il valore in zero: $\varphi(0)=1$ è necessario, ma non basta.
Sostituire la positiva-definitezza con la positività puntuale: non serve che $\varphi(t)$ sia positiva per ogni $t$ ; serve la positività delle matrici finite costruite da $\varphi(t_j-t_k)$ .
Ignorare il caso complesso: la condizione usa coefficienti complessi e coniugati, quindi non è una semplice disuguaglianza reale punto per punto.
Confondere Bochner con Lévy: Bochner caratterizza una singola funzione candidata; Lévy controlla limiti di successioni di funzioni caratteristiche.

Vedi anche: funzione caratteristica, funzione caratteristica multivariata, funzione positiva-definita, Random Fourier features, teorema di inversione per funzioni caratteristiche, teorema di continuità di Lévy, normale multivariata.