Funzione caratteristica multivariata

La funzione caratteristica multivariata estende la funzione caratteristica dal caso reale al caso vettoriale. Se $\mathbf X$ è un vettore aleatorio in $\mathbb R^d$ , la sua funzione caratteristica è

\varphi_{\mathbf X}(t)=\mathbb E\!\left[e^{i\,t^T\mathbf X}\right], \qquad t\in\mathbb R^d.

È la trasformata di Fourier della distribuzione congiunta di $\mathbf X$ . Per questo contiene non solo le marginali, ma anche la struttura di dipendenza tra le componenti.

Lettura geometrica

Il vettore $t$ seleziona una direzione nello spazio. Il prodotto scalare $t^T\mathbf X$ è una proiezione reale del vettore aleatorio, quindi

\varphi_{\mathbf X}(t) = \varphi_{t^T\mathbf X}(1).

In forma equivalente, conoscere $\varphi_{\mathbf X}(t)$ per ogni $t$ significa conoscere le funzioni caratteristiche di tutte le proiezioni lineari del vettore.

Oggetto	Formula	Interpretazione
Vettore aleatorio	$\displaystyle \mathbf X=(X_1,\ldots,X_d)$	Grandezza casuale multidimensionale.
Direzione di prova	$\displaystyle t\in\mathbb R^d$	Seleziona una proiezione lineare.
Proiezione reale	$\displaystyle t^T\mathbf X=\sum_{j=1}^d t_jX_j$	Riduce il vettore a una variabile aleatoria reale.
Funzione caratteristica	$\displaystyle \varphi_{\mathbf X}(t)=\mathbb E[e^{i\,t^T\mathbf X}]$	Codifica la distribuzione congiunta.

Proprietà fondamentali

Proprietà	Formula	Uso
Valore in zero	$\displaystyle \varphi_{\mathbf X}(0)=1$	Normalizzazione della probabilità.
Modulo limitato	$\displaystyle \lvert\varphi_{\mathbf X}(t)\rvert\le1$	Esistenza sempre garantita.
Unicità	$\displaystyle \varphi_{\mathbf X}=\varphi_{\mathbf Y}\Rightarrow \mathbf X\sim\mathbf Y$	Identifica la legge congiunta.
Trasformazione lineare	$\displaystyle \varphi_{A\mathbf X+b}(t)=e^{i\,t^Tb}\varphi_{\mathbf X}(A^Tt)$	Propaga leggi sotto mappe affini.
Componenti indipendenti	$\displaystyle \varphi_{\mathbf X}(t)=\prod_{j=1}^d\varphi_{X_j}(t_j)$	Fattorizza la legge congiunta.
Ammissibilità	$\displaystyle \sum_{j,k}c_j\overline{c_k}\,\varphi_{\mathbf X}(t_j-t_k)\ge0$	È il vincolo positivo-definito del teorema di Bochner.

La fattorizzazione vale solo se le componenti sono indipendenti. Senza indipendenza, le marginali $\varphi_{X_j}$ non bastano a ricostruire la legge congiunta.

Normale multivariata

Se $\mathbf X\sim\mathcal N_d(\mu,\Sigma)$ , allora

\varphi_{\mathbf X}(t) = \exp\!\left( i\,t^T\mu-\dfrac{1}{2}t^T\Sigma t \right).

La formula mostra perché la normale multivariata è determinata da media e matrice di covarianza: il termine lineare contiene $\mu$ , mentre il termine quadratico contiene $\Sigma$ .

Per ogni direzione $a\in\mathbb R^d$ ,

a^T\mathbf X\sim\mathcal N(a^T\mu,a^T\Sigma a),

coerentemente con il teorema di Cramér-Wold.

Schema operativo

Obiettivo	Cosa controllare	Conclusione
Identificare una legge congiunta	Calcolare $\displaystyle \varphi_{\mathbf X}(t)$ per $\displaystyle t\in\mathbb R^d$	La funzione caratteristica determina la distribuzione.
Dimostrare indipendenza	Verificare $\displaystyle \varphi_{\mathbf X}(t)=\prod_j\varphi_{X_j}(t_j)$	La legge congiunta fattorizza nelle marginali.
Dimostrare un limite multivariato	Studiare $\displaystyle \varphi_{\mathbf X_n}(t)\to\varphi(t)$ per ogni $\displaystyle t$	Con continuità in zero si ottiene convergenza in distribuzione.
Riconoscere un limite normale	Ottenere $\displaystyle \exp(i\,t^T\mu-\dfrac{1}{2}t^T\Sigma t)$	Il limite è $\displaystyle \mathcal N_d(\mu,\Sigma)$ .

Collegamento con Cramér-Wold

Il teorema di Cramér-Wold dice che la convergenza in distribuzione di vettori in $\mathbb R^d$ equivale alla convergenza in distribuzione di tutte le proiezioni lineari. La funzione caratteristica multivariata è il linguaggio naturale di questo fatto:

\varphi_{\mathbf X_n}(t) = \mathbb E[e^{i\,t^T\mathbf X_n}] = \varphi_{t^T\mathbf X_n}(1).

Controllare $\varphi_{\mathbf X_n}(t)$ per ogni $t$ significa quindi controllare tutte le direzioni reali del vettore.

Errori comuni

Scambiare marginali e congiunta: conoscere le funzioni caratteristiche delle singole componenti non determina la dipendenza tra componenti.
Dimenticare l’indipendenza nella fattorizzazione: il prodotto delle funzioni caratteristiche marginali vale solo per componenti indipendenti.
Usare solo alcune direzioni: per identificare la legge del vettore servono tutte le direzioni $t\in\mathbb R^d$ .
Perdere i termini incrociati della covarianza: nella normale multivariata il termine $t^T\Sigma t$ contiene anche covarianze fuori diagonale.

Vedi anche: funzione caratteristica, vettore aleatorio, teorema di Bochner, teorema di Cramér-Wold, normale multivariata, convergenza congiunta.