Un vettore aleatorio \mathbf{X} = (X_1, X_2, \dots, X_n)^T è una generalizzazione multidimensionale del concetto di variabile aleatoria. Viene utilizzato per descrivere esperimenti il cui esito è caratterizzato da più grandezze osservate contemporaneamente.
Distribuzione Congiunta
Il comportamento di un vettore aleatorio è descritto dalla sua Funzione di Ripartizione Congiunta: F_{\mathbf{X}}(x_1, \dots, x_n) = P(X_1 \leq x_1, \dots, X_n \leq x_n) Nel caso continuo, si definisce una Funzione di Densità Congiunta f_{\mathbf{X}}(\mathbf{x}).
Momenti del Vettore
- Vettore delle Medie: \boldsymbol{\mu} = E[\mathbf{X}] = (E[X_1], \dots, E[X_n])^T.
- Matrice di Covarianza (\boldsymbol{\Sigma}): Una matrice simmetrica e semidefinita positiva dove l’elemento \sigma_{ij} rappresenta la Covarianza tra la componente i e la componente j. Sulla diagonale principale si trovano le varianze delle singole componenti.
Casi Particolari
- Vettore Aleatorio Gaussiano: Fondamentale in ingegneria, descrive sistemi dove le componenti sono distribuite normalmente e la cui dipendenza è interamente catturata dalla matrice di covarianza.
Significato Ingegneristico
- Analisi Strutturale: La posizione di un punto nello spazio soggetto a carichi aleatori è un vettore aleatorio.
- Teoria dei Segnali: Un segnale digitalizzato a n campioni è un vettore aleatorio in uno spazio a n dimensioni. La matrice di covarianza descrive il contenuto spettrale del rumore.
- Robotica: Lo stato di un robot (posizione x, y, z e orientamento) è un vettore aleatorio stimato continuamente tramite algoritmi come il Filtro di Kalman.
Vedi anche: Variabile Aleatoria, Covarianza, Distribuzione Normale.