Vettore Aleatorio

Un vettore aleatorio $\mathbf{X} = (X_1, X_2, \dots, X_n)^T$ è una generalizzazione multidimensionale del concetto di variabile aleatoria. Viene utilizzato per descrivere esperimenti il cui esito è caratterizzato da più grandezze osservate contemporaneamente.

Distribuzione Congiunta

Il comportamento di un vettore aleatorio è descritto dalla sua Funzione di Ripartizione Congiunta: $F_{\mathbf{X}}(x_1, \dots, x_n) = P(X_1 \leq x_1, \dots, X_n \leq x_n)$ Nel caso continuo, si definisce una Funzione di Densità Congiunta $f_{\mathbf{X}}(\mathbf{x})$.

Momenti del Vettore

• Vettore delle Medie: $\boldsymbol{\mu} = E[\mathbf{X}] = (E[X_1], \dots, E[X_n])^T$.
• Matrice di Covarianza ($\boldsymbol{\Sigma}$): Una matrice simmetrica e semidefinita positiva dove l’elemento $\sigma_{ij}$ rappresenta la Covarianza tra la componente $i$ e la componente $j$. Sulla diagonale principale si trovano le varianze delle singole componenti.

Casi Particolari

• Vettore Aleatorio Gaussiano: Fondamentale in ingegneria, descrive sistemi dove le componenti sono distribuite normalmente e la cui dipendenza è interamente catturata dalla matrice di covarianza.

Significato Ingegneristico

• Analisi Strutturale: La posizione di un punto nello spazio soggetto a carichi aleatori è un vettore aleatorio.
• Teoria dei Segnali: Un segnale digitalizzato a $n$ campioni è un vettore aleatorio in uno spazio a $n$ dimensioni. La matrice di covarianza descrive il contenuto spettrale del rumore.
• Robotica: Lo stato di un robot (posizione $x, y, z$ e orientamento) è un vettore aleatorio stimato continuamente tramite algoritmi come il Filtro di Kalman.

Vedi anche: Variabile Aleatoria, Covarianza, Distribuzione Normale.