Un rombo è un quadrilatero con quattro lati congruenti. È un caso particolare di parallelogramma: ha quindi lati opposti paralleli, angoli opposti congruenti e diagonali che si bisecano.
La proprietà distintiva del rombo è che le diagonali sono perpendicolari. Inoltre ciascuna diagonale biseca gli angoli ai vertici che collega. Questo rende il rombo una figura molto utile negli esercizi di geometria piana: spesso basta conoscere le diagonali per ottenere lato, area e angoli.
Area
L’area può essere calcolata in due modi principali. Se sono noti base e altezza:
Questa è la stessa formula del parallelogramma: il rombo può essere tagliato e ricomposto in un rettangolo equivalente.
Se sono note le diagonali d_1 e d_2, poiché sono perpendicolari:
La formula si legge come metà dell’area del rettangolo che avrebbe lati uguali alle due diagonali. Non vale per qualunque quadrilatero con diagonali generiche: è valida quando le diagonali sono perpendicolari.
Lato dalle diagonali
Le diagonali del rombo si tagliano a metà e sono perpendicolari. Ogni lato è quindi ipotenusa di un triangolo rettangolo con cateti d_1/2 e d_2/2. Per il teorema di Pitagora:
Per esempio, se d_1=8 e d_2=6:
La stessa coppia di diagonali dà area:
Rombo, quadrato e rettangolo
Il quadrato è un rombo con quattro angoli retti. È anche un rettangolo con quattro lati congruenti. Il rombo generico, invece, non ha angoli retti e le sue diagonali non sono congruenti.
Un rettangolo ha diagonali congruenti, ma non necessariamente perpendicolari. Un rombo ha diagonali perpendicolari, ma non necessariamente congruenti. Il quadrato è il caso in cui entrambe le proprietà valgono.
Perimetro e angoli
Se il lato del rombo è \ell, il perimetro è:
Gli angoli adiacenti sono supplementari, perché il rombo è un parallelogramma:
Se si conosce il lato \ell e l’angolo compreso \theta, l’area si può scrivere anche come:
Questa forma è utile quando le diagonali non sono note ma è noto l’angolo.
Cerchio inscritto e ciclicità
Ogni rombo è circoscrivibile a una circonferenza tangente ai quattro lati. La ragione è che, in un quadrilatero tangenziale, le somme dei lati opposti devono essere uguali; nel rombo questa condizione è automaticamente soddisfatta:
Il raggio del cerchio inscritto coincide con metà dell’altezza del rombo. Se r è l’inraggio:
Perciò l’area può essere letta anche come:
Poiché il semiperimetro è:
si ottiene la forma generale dei quadrilateri tangenziali:
Il rombo non è invece, in generale, un quadrilatero ciclico. Un parallelogramma ciclico deve avere angoli opposti supplementari e uguali; quindi devono essere entrambi retti. L’unico rombo ciclico è il quadrato.
Esempio operativo
Un rombo ha lato \ell=10 e altezza h=6. L’area vale:
L’inraggio è metà dell’altezza:
La stessa area si ottiene con semiperimetro e inraggio:
Se invece sono note le diagonali, la formula A=d_1d_2/2 è spesso più diretta; se sono noti lato e angolo, conviene usare A=\ell^2\sin\theta.
Errori comuni
Il primo errore è confondere rombo e quadrato: ogni quadrato è un rombo, ma non ogni rombo è un quadrato. Il secondo è pensare che le diagonali del rombo siano sempre uguali: sono uguali solo nel quadrato. Il terzo è usare la formula A=d_1d_2/2 per un quadrilatero qualunque senza verificare la perpendicolarità delle diagonali. Il quarto è usare il lato obliquo come altezza: nell’area A=bh, l’altezza è sempre perpendicolare alla base.
Vedi anche: quadrilatero, parallelogramma, quadrilatero ciclico, teorema di Pitagora ed esercizi su quadrilateri e poligoni regolari.