Quadrilateri e poligoni regolari: esercizi svolti

I quadrilateri e i poligoni regolari sono le figure piane più ricorrenti nelle applicazioni: aree di sezioni, superfici, profili. Questa scheda allena il calcolo di aree e angoli, con particolare attenzione ai poligoni regolari e all’apotema.

1. Area del parallelogramma

Esercizio. Un parallelogramma ha base $b=12$ e altezza $h=5$ . Calcolare l’area.

$A=b\,h=12\times5=60.$

L’area del parallelogramma usa l’altezza perpendicolare alla base, non il lato obliquo. Un errore comune è moltiplicare i due lati.

2. Area del trapezio

Esercizio. Un trapezio ha basi $B=10$ e $b=6$ , altezza $h=4$ . Calcolare l’area.

$A=\dfrac{(B+b)}{2}h=\dfrac{(10+6)}{2}\times4=8\times4=32.$

L’area del trapezio è la semisomma delle basi per l’altezza. Equivale a un rettangolo con base pari alla media delle due basi.

3. Area del rombo

Esercizio. Un rombo ha diagonali $d_1=8$ e $d_2=6$ . Calcolare l’area.

$A=\dfrac{d_1\,d_2}{2}=\dfrac{8\times6}{2}=24.$

Per il rombo (e per ogni quadrilatero con diagonali perpendicolari) l’area è metà del prodotto delle diagonali. Il lato si ricava da Pitagora sulle semidiagonali: $\ell=\sqrt{4^2+3^2}=5$ .

4. Somma degli angoli interni

Esercizio. Calcolare la somma degli angoli interni di un esagono.

La somma degli angoli interni di un poligono di $n$ lati:

$S=(n-2)\times180^\circ=(6-2)\times180^\circ=4\times180^\circ=720^\circ.$

Ogni lato oltre il triangolo aggiunge $180^\circ$ . Per un poligono regolare, ogni angolo interno è $S/n=720/6=120^\circ$ .

5. Apotema di un poligono regolare

Esercizio. Un esagono regolare ha lato $\ell=4$ . Calcolare l’apotema (per l’esagono, fattore $0{,}866$ ).

L’apotema (raggio del cerchio inscritto) è proporzionale al lato tramite un numero fisso per ogni tipo di poligono:

$a=\ell\times f=4\times0{,}866=3{,}46.$

Per l’esagono regolare il numero fisso è $\dfrac{\sqrt3}{2}\approx0{,}866$ . L’apotema è la distanza dal centro al punto medio di un lato.

6. Area di un poligono regolare

Esercizio. Calcolare l’area dell’esagono del punto 5 ( $\ell=4$ , $a=3{,}46$ ).

L’area di un poligono regolare è semiperimetro per apotema:

$A=\dfrac{p\cdot a}{2}=\dfrac{(6\times4)\times3{,}46}{2}=\dfrac{24\times3{,}46}{2}=\dfrac{83{,}1}{2}=41{,}6.$

La formula $A=\dfrac{p\,a}{2}$ vale per ogni poligono regolare: è il poligono “scomposto” in $n$ triangoli di base il lato e altezza l’apotema.

7. Altezza di un trapezio dall’area

Esercizio. Un trapezio ha area $A=45$ , basi $B=12$ e $b=6$ . Calcolare l’altezza.

Partiamo dalla formula:

A=\dfrac{B+b}{2}\,h.

Isoliamo $h$ :

h=\dfrac{2A}{B+b}=\dfrac{2\cdot45}{12+6}=\dfrac{90}{18}=5.

Verifica: la media delle basi è $\dfrac{12+6}{2}=9$ ; $9\cdot5=45$ . Negli esercizi inversi conviene sempre risolvere la formula simbolicamente prima di sostituire i numeri.

8. Diagonali di un rettangolo

Esercizio. Un rettangolo ha lati $a=9$ e $b=12$ . Calcolare la diagonale.

La diagonale divide il rettangolo in due triangoli rettangoli congruenti. Per Pitagora:

d=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15.

La diagonale non è la somma dei lati: è l’ipotenusa del triangolo rettangolo costruito sui due lati. La terna $(9,12,15)$ è un multiplo della terna $(3,4,5)$ .

9. Numero di diagonali di un poligono

Esercizio. Quante diagonali ha un ottagono?

Da ogni vertice di un poligono di $n$ lati partono diagonali verso tutti i vertici tranne sé stesso e i due adiacenti: quindi $n-3$ diagonali per vertice. Contando tutti i vertici si ottiene $n(n-3)$ , ma ogni diagonale è contata due volte:

D=\dfrac{n(n-3)}{2}.

Per $n=8$ :

D=\dfrac{8(8-3)}{2}=\dfrac{8\cdot5}{2}=20.

Il controllo qualitativo è utile: un quadrilatero ha $2$ diagonali, infatti $\dfrac{4(4-3)}{2}=2$ .

10. Angolo esterno di un poligono regolare

Esercizio. Calcolare angolo interno ed esterno di un dodecagono regolare.

Per un poligono regolare di $n$ lati, l’angolo esterno è:

\alpha_e=\dfrac{360^\circ}{n}.

Con $n=12$ :

\alpha_e=\dfrac{360^\circ}{12}=30^\circ.

L’angolo interno è supplementare dell’esterno:

\alpha_i=180^\circ-30^\circ=150^\circ.

Questa via è spesso più rapida della somma degli angoli interni, soprattutto per poligoni con molti lati.

Errori comuni

Usare il lato obliquo come altezza. L’area del parallelogramma usa l’altezza perpendicolare, non il lato inclinato.
Dimenticare la semisomma nel trapezio. È $\dfrac{B+b}{2}\cdot h$ : usare una sola base sbaglia l’area.
Confondere apotema e raggio. L’apotema è il raggio del cerchio inscritto (al punto medio del lato); il raggio circoscritto va al vertice.
Sbagliare la somma degli angoli. È $(n-2)\cdot180^\circ$ , non $n\times180^\circ$ : il triangolo ( $n=3$ ) ha $180^\circ$ , non $540^\circ$ .
Contare due volte le diagonali. La formula $\dfrac{n(n-3)}{2}$ divide per 2 perché ogni diagonale viene vista dai suoi due estremi.