Punto critico — ingegnerismo.it

Un punto critico di una funzione differenziabile $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ è un punto interno del dominio in cui il gradiente si annulla:

\nabla f(x_0)=0.

In una variabile, la condizione diventa

f'(x_0)=0.

I punti critici sono candidati naturali per massimi, minimi e punti di sella, ma non sono automaticamente estremi.

Condizione necessaria del primo ordine

Se $x_0$ è un punto interno e $f$ ha un estremo locale in $x_0$ , allora, sotto ipotesi di differenziabilità,

\nabla f(x_0)=0.

La ragione è che tutte le derivate direzionali devono annullarsi: in un massimo o minimo locale interno non può esserci una direzione lungo cui la funzione aumenta al primo ordine e un’altra lungo cui diminuisce.

La condizione è necessaria, non sufficiente. Un punto può avere gradiente nullo e non essere né massimo né minimo.

Classificazione con Hessiana

Se $f$ è due volte differenziabile, la classificazione locale si basa sulla matrice Hessiana

H_f(x_0)= \left[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(x_0) \right].

La formula di Taylor in più variabili dà, vicino a $x_0$ ,

f(x_0+h) = f(x_0) +\dfrac{1}{2}h^T H_f(x_0)h +o(\|h\|^2),

perché il termine lineare si annulla nei punti critici.

Da qui seguono i criteri principali:

se $H_f(x_0)$ è definita positiva, $x_0$ è un minimo locale stretto;
se $H_f(x_0)$ è definita negativa, $x_0$ è un massimo locale stretto;
se $H_f(x_0)$ è indefinita, $x_0$ è un punto di sella;
se $H_f(x_0)$ è semidefinita o singolare, il test è inconcludente.

Esempi

La funzione

f(x,y)=x^2+y^2

ha un punto critico in $(0,0)$ e Hessiana

H= \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix},

definita positiva: quindi $(0,0)$ è un minimo locale.

La funzione

g(x,y)=x^2-y^2

ha ancora gradiente nullo in $(0,0)$ , ma la Hessiana è indefinita:

H= \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & -2 \end{pmatrix}.

Il punto è di sella: lungo l’asse $x$ la funzione cresce, lungo l’asse $y$ decresce.

Punti critici vincolati

Se la funzione è soggetta a vincoli, la condizione $\nabla f=0$ non è più quella corretta in generale. Per un vincolo

g(x)=0,

si usa spesso il metodo dei moltiplicatori di Lagrange:

\nabla f(x)=\lambda \nabla g(x).

Il punto critico vincolato è tale rispetto alle direzioni ammissibili, non rispetto a tutte le direzioni dello spazio.

Ruolo in ottimizzazione

In ottimizzazione, trovare punti critici è solo una fase. Bisogna poi classificarli, verificare i vincoli, confrontare eventuali valori al bordo e distinguere minimi locali da minimi globali. In domini non compatti o con funzioni non convesse, possono esistere molti punti critici e nessuno garantire l’ottimo globale.

Per funzioni convesse differenziabili, invece, un punto critico è anche minimo globale. Questo è uno dei motivi per cui la convessità è così importante nei problemi applicativi.

Errori comuni

Il primo errore è concludere “gradiente nullo quindi minimo”: può essere una sella. Il secondo è dimenticare il bordo del dominio: un estremo assoluto può trovarsi sul bordo anche se non è punto critico interno. Il terzo è usare il test Hessiano quando la funzione non è sufficientemente regolare o quando la Hessiana è semidefinita, caso in cui servono termini di ordine superiore o argomenti specifici.

Per esercizi collegati si vedano estremi liberi in più variabili, Taylor e Hessiana e estremi vincolati con Lagrange.