Derivata direzionale — ingegnerismo.it

La derivata direzionale misura quanto cambia una funzione di più variabili quando ci si muove da un punto in una direzione assegnata. Generalizza la derivata ordinaria: invece di muoversi solo lungo l’asse $x$ , si sceglie un vettore direzione nello spazio delle variabili.

È uno strumento centrale in analisi multivariata, ottimizzazione, campi scalari, meccanica dei continui e geometria differenziale, perché collega variazioni locali, gradiente e superfici di livello.

Definizione

Sia $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ e sia $v$ un vettore unitario. La derivata direzionale di $f$ in $x_0$ lungo $v$ è

D_v f(x_0)= \lim_{t\to0} \dfrac{f(x_0+tv)-f(x_0)}{t}.

Il parametro $t$ misura lo spostamento lungo la retta

x(t)=x_0+tv.

La derivata direzionale è quindi la derivata ordinaria della funzione composta

g(t)=f(x_0+tv)

calcolata in $t=0$ .

Formula con il gradiente

Se $f$ è differenziabile in $x_0$ , allora

D_v f(x_0)=\nabla f(x_0)\cdot v.

Questa formula ha una forte interpretazione geometrica: la variazione nella direzione $v$ è la proiezione del gradiente lungo $v$ . Se il gradiente è grande ma quasi ortogonale alla direzione scelta, la derivata direzionale può essere piccola.

Se $v$ non è unitario, la quantità $\nabla f(x_0)\cdot v$ misura la variazione rispetto al parametro $t$ , non per unità di lunghezza. Per confrontare direzioni diverse conviene normalizzare $v$ .

Direzione di massima crescita

Per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz:

D_v f(x_0) = \nabla f(x_0)\cdot v \le \|\nabla f(x_0)\|\,\|v\|.

Se $\|v\|=1$ , il massimo valore possibile è

\|\nabla f(x_0)\|.

Si ottiene quando $v$ ha la stessa direzione del gradiente:

v=\dfrac{\nabla f(x_0)}{\|\nabla f(x_0)\|}.

Il gradiente indica quindi la direzione di massima crescita locale; la direzione opposta indica la massima discesa.

Curve e superfici di livello

Se ci si muove lungo una direzione tangente a una curva o superficie di livello, il valore di $f$ non cambia al primo ordine. Perciò la derivata direzionale è nulla:

D_v f(x_0)=0.

Quando $f$ è differenziabile e $\nabla f(x_0)\ne0$ , questo equivale a dire che $v$ è ortogonale al gradiente. Per questo il gradiente è normale alle superfici di livello e compare nella formula del piano tangente.

Esempio

Per

f(x,y)=x^2+3xy,

il gradiente è

\nabla f(x,y)=(2x+3y,3x).

Nel punto $(1,2)$ :

\nabla f(1,2)=(8,3).

Nella direzione unitaria

v=\dfrac{1}{\sqrt{5}}(1,2),

la derivata direzionale vale

D_v f(1,2) = (8,3)\cdot\dfrac{1}{\sqrt{5}}(1,2) = \dfrac{14}{\sqrt{5}}.

Derivata direzionale e differenziabilità

L’esistenza delle derivate direzionali in tutte le direzioni non basta, da sola, a garantire la differenziabilità. La differenziabilità richiede un’approssimazione lineare coerente in tutte le direzioni:

f(x_0+h)=f(x_0)+L(h)+o(\|h\|).

Quando questa approssimazione esiste, $L(h)=\nabla f(x_0)\cdot h$ . Senza differenziabilità, le derivate direzionali possono esistere ma comportarsi in modo non lineare rispetto alla direzione.

Errori comuni

dimenticare di normalizzare la direzione quando si vuole una variazione per unità di lunghezza;
pensare che tutte le derivate direzionali esistenti implichino automaticamente differenziabilità;
confondere derivata parziale e derivata direzionale generale: le parziali sono solo direzioni coordinate;
usare la formula con il gradiente dove la funzione non è differenziabile;
interpretare una derivata direzionale nulla come massimo o minimo senza ulteriori condizioni.

Vedi anche: Gradiente, Piano tangente, Moltiplicatori di Lagrange, Formulario di Analisi Matematica II.