Piano tangente — ingegnerismo.it

Il piano tangente è l’approssimazione lineare locale di una superficie regolare in un punto. È l’analogo, in tre dimensioni, della retta tangente al grafico di una funzione di una variabile: vicino al punto di tangenza, la superficie e il piano hanno lo stesso comportamento al primo ordine.

Il concetto è fondamentale in analisi multivariata, geometria differenziale, ottimizzazione vincolata, meccanica dei continui e modellazione CAD, perché permette di sostituire localmente una geometria curva con un oggetto lineare più semplice.

Grafico di una funzione

Se la superficie è il grafico

z=f(x,y)

e $f$ è differenziabile nel punto $(x_0,y_0)$ , allora

z_0=f(x_0,y_0).

Il piano tangente è

z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0).

In forma esplicita:

z= f(x_0,y_0) +f_x(x_0,y_0)(x-x_0) +f_y(x_0,y_0)(y-y_0).

Questa è la parte lineare dello sviluppo di Taylor:

f(x,y) \approx f(x_0,y_0) +\nabla f(x_0,y_0)\cdot \begin{pmatrix} x-x_0\\ y-y_0 \end{pmatrix}.

Superficie implicita

Se la superficie è descritta implicitamente da

F(x,y,z)=0,

e $p_0=(x_0,y_0,z_0)$ è un punto regolare, cioè

\nabla F(p_0)\ne0,

allora il piano tangente è

\nabla F(p_0)\cdot((x,y,z)-p_0)=0.

Il gradiente di $F$ è normale alla superficie: punta nella direzione di variazione più rapida della funzione implicita, quindi è ortogonale alle direzioni lungo cui si resta sulla superficie.

Forma parametrica

Per una superficie parametrizzata

\sigma(u,v)

il piano tangente nel punto $\sigma(u_0,v_0)$ è generato dai vettori

\sigma_u(u_0,v_0), \qquad \sigma_v(u_0,v_0),

purché siano linearmente indipendenti. Una rappresentazione parametrica del piano è

P(s,t)= \sigma(u_0,v_0) +s\,\sigma_u(u_0,v_0) +t\,\sigma_v(u_0,v_0).

Il vettore normale è proporzionale a

\sigma_u(u_0,v_0)\times\sigma_v(u_0,v_0).

Questa forma è utile quando la superficie non è il grafico di una funzione, ad esempio su sfere, cilindri, superfici di rivoluzione o mesh geometriche.

Interpretazione operativa

Il piano tangente serve a:

linearizzare una superficie vicino a un punto;
calcolare approssimazioni locali e differenziali;
stimare errori di misura su superfici curve;
costruire normali per flussi, rendering e contatti meccanici;
formulare condizioni di ottimo vincolato tramite moltiplicatori di Lagrange.

In un problema fisico, il piano tangente è spesso il piano locale su cui si proiettano forze, velocità, gradienti o condizioni al contorno. In geometria computazionale è la base per normali, illuminazione e ricostruzione di superfici.

Esempio

Per

f(x,y)=x^2+y^2

nel punto $(1,2)$ si ha $z_0=5$ ,

f_x=2x, \qquad f_y=2y.

Quindi

f_x(1,2)=2, \qquad f_y(1,2)=4.

Il piano tangente è

z-5=2(x-1)+4(y-2),

ossia

z=2x+4y-5.

Vicino a $(1,2)$ , questa formula approssima il paraboloide $z=x^2+y^2$ al primo ordine.

Errori comuni

usare la formula del piano tangente senza verificare la differenziabilità della funzione;
confondere il piano tangente con una sezione piana della superficie;
dimenticare che per una superficie implicita il gradiente deve essere non nullo;
scambiare il vettore normale con un vettore tangente;
usare il piano tangente lontano dal punto di tangenza, dove i termini quadratici possono diventare dominanti.

Vedi anche: Derivata direzionale, Gradiente, Moltiplicatori di Lagrange, Formulario di Analisi Matematica II.