Formulario di Analisi Matematica II

Questo formulario raccoglie le formule centrali di Analisi Matematica II per ingegneria. Si dà per acquisito il linguaggio di Analisi Matematica I: limiti, continuità, derivate, integrali, serie e approssimazioni di Taylor in una variabile.

Qui il passaggio essenziale è dal calcolo su una retta al calcolo su spazi euclidei. Le grandezze non dipendono più da una sola variabile: possono dipendere da posizione, tempo, coordinate spaziali, parametri di progetto, campi vettoriali e domini geometrici. Ogni formula va letta insieme alle sue ipotesi: regolarità, orientazione, dominio e scelta delle coordinate non sono dettagli, ma parte della formula stessa.

1. Geometria euclidea di $\mathbb{R}^n$

Punto e vettore in $\mathbb{R}^n$

$$x=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^n,\qquad y=(y_1,\dots,y_n)\in\mathbb{R}^n$$

Un punto di $\mathbb{R}^n$ è descritto da $n$ coordinate reali. In Analisi II si usa spesso la stessa notazione per punti e vettori: il contesto chiarisce se $x$ rappresenta una posizione, uno spostamento o una variabile indipendente. Le coordinate sono strumenti di calcolo; l’oggetto geometrico non deve dipendere dalla particolare scelta degli assi.

Prodotto scalare

$$x\cdot y=\sum_{i=1}^{n}x_i y_i$$

Il prodotto scalare misura quanto due vettori sono allineati. Se è positivo, i vettori formano un angolo acuto; se è negativo, un angolo ottuso; se è nullo, i vettori sono ortogonali. In meccanica e fisica matematica compare come lavoro elementare, proiezione, flusso e misura dell’angolo tra direzioni.

Norma euclidea

$$\lVert x\rVert=\sqrt{x\cdot x}=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}$$

La norma euclidea è la lunghezza del vettore. È sempre non negativa e vale zero solo per il vettore nullo. In Analisi II sostituisce il valore assoluto della retta reale: ogni definizione di limite, continuità e convergenza usa la distanza misurata tramite una norma.

Distanza euclidea

$$d(x,y)=\lVert x-y\rVert$$

La distanza tra due punti è la norma del loro vettore differenza. Scrivere $\lVert x-y\rVert$ significa misurare quanto bisogna spostarsi da $y$ per arrivare a $x$. Questa formula è la base di palle, intorni, domini, continuità e stime di errore in più variabili.

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

$$|x\cdot y|\le \lVert x\rVert\,\lVert y\rVert$$

Il valore assoluto del prodotto scalare non può superare il prodotto delle lunghezze. L’uguaglianza si ha quando i due vettori sono linearmente dipendenti, cioè giacciono sulla stessa direzione. È una stima fondamentale: consente di controllare prodotti scalari tramite quantità scalari più semplici.

Disuguaglianza triangolare

$$\lVert x+y\rVert\le \lVert x\rVert+\lVert y\rVert$$

La lunghezza della somma di due vettori non supera la somma delle lunghezze. Geometricamente è la proprietà che un lato di un triangolo non è più lungo della somma degli altri due. Nelle dimostrazioni di continuità e differenziabilità serve per separare errori composti in errori più piccoli.

Angolo tra vettori

$$\cos\theta=\frac{x\cdot y}{\lVert x\rVert\,\lVert y\rVert}$$

La formula vale per vettori non nulli. Il prodotto scalare normalizzato restituisce il coseno dell’angolo tra le direzioni. In applicazioni ingegneristiche permette di calcolare componenti lungo una direzione, lavoro di una forza e orientazione tra superfici, campi e traiettorie.

Palla aperta

$$B(x_0,r)=\{x\in\mathbb{R}^n:\lVert x-x_0\rVert<r\}$$

Una palla aperta è l’insieme dei punti che distano da $x_0$ meno di $r$. In $\mathbb{R}$ è un intervallo aperto; in $\mathbb{R}^2$ è un disco senza bordo; in $\mathbb{R}^3$ è una sfera piena senza superficie esterna. La parola “aperta” indica che il bordo non è incluso.

Punto interno, esterno e di frontiera

$$x_0\in\operatorname{int}A \Longleftrightarrow \exists r>0:\ B(x_0,r)\subset A$$

Un punto è interno ad $A$ se si può disegnare una palla abbastanza piccola tutta contenuta in $A$. Un punto è esterno se è interno al complementare. Un punto di frontiera non è né stabilmente dentro né stabilmente fuori: ogni sua palla intercetta sia $A$ sia il complementare di $A$.

Insieme aperto e insieme chiuso

$$A\ \text{aperto}\Longleftrightarrow A=\operatorname{int}A,\qquad A\ \text{chiuso}\Longleftrightarrow A^c\ \text{aperto}$$

Un insieme aperto contiene solo punti interni. Un insieme chiuso contiene la propria frontiera, o in modo equivalente ha complementare aperto. Un insieme può non essere né aperto né chiuso; può anche essere sia aperto sia chiuso in casi particolari, come $\varnothing$ e l’intero spazio.

Chiusura e frontiera

$$\overline{A}=A\cup\partial A,\qquad \partial A=\overline{A}\setminus\operatorname{int}A$$

La chiusura aggiunge ad $A$ tutti i punti limite che possono essere raggiunti da successioni di punti di $A$. La frontiera è il bordo geometrico dell’insieme: separa interno ed esterno. Nei problemi di integrazione e nei teoremi integrali, il bordo è spesso il luogo su cui compaiono circolazioni e flussi.

Insieme limitato

$$A\ \text{limitato} \Longleftrightarrow \exists R>0:\ A\subset B(0,R)$$

Un insieme è limitato se sta dentro una palla abbastanza grande. La definizione non richiede di conoscere il raggio minimo: basta che esista un raggio finito. La limitatezza è una condizione di compattezza e impedisce che masse, aree o domini scappino all’infinito.

Compattezza in $\mathbb{R}^n$

$$K\subset\mathbb{R}^n\ \text{compatto} \Longleftrightarrow K\ \text{chiuso e limitato}$$

In spazi euclidei finito-dimensionali, il teorema di Heine-Borel identifica gli insiemi compatti con quelli chiusi e limitati. La compattezza è la condizione geometrica che rende validi risultati di esistenza: massimi, minimi, sottosuccessioni convergenti e coperture finite.

Connessità per archi

$$\forall x,y\in A,\ \exists\gamma:[0,1]\to A:\ \gamma(0)=x,\ \gamma(1)=y$$

Un insieme è connesso per archi se ogni coppia di punti può essere collegata da una curva continua interna all’insieme. È una proprietà più forte della semplice assenza di separazioni. Per molti domini regolari dell’ingegneria, connessità per archi significa che il dominio è un solo pezzo attraversabile senza uscire.

2. Funzioni di più variabili e campi

Campo scalare

$$f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$$

Un campo scalare associa un numero reale a ogni punto del dominio. Può rappresentare temperatura, pressione, densità, quota, energia potenziale o concentrazione. Il dominio $D$ è parte della definizione: la stessa formula algebrica può descrivere funzioni diverse se il dominio cambia.

Campo vettoriale

$$F:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,\qquad F(x)=(F_1(x),\dots,F_m(x))$$

Un campo vettoriale associa a ogni punto un vettore. In $\mathbb{R}^3$ può rappresentare velocità di un fluido, forza, campo elettrico o campo magnetico. Le componenti $F_i$ sono funzioni scalari, ma il significato fisico del campo dipende dal vettore nel suo complesso, non dalle componenti isolate.

Dominio naturale in più variabili

$$\sqrt{g(x,y)}\Rightarrow g(x,y)\ge0,\qquad \frac{1}{g(x,y)}\Rightarrow g(x,y)\ne0,\qquad \ln g(x,y)\Rightarrow g(x,y)>0$$

Le restrizioni di dominio restano quelle di Analisi I, ma ora descrivono regioni del piano o dello spazio. Un vincolo come $x^2+y^2<1$ non è un intervallo, ma un disco. Prima di calcolare limiti o derivate bisogna stabilire quale regione dello spazio è realmente disponibile.

Grafico di una funzione scalare di due variabili

$$z=f(x,y)$$

Il grafico di $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ è una superficie nello spazio tridimensionale. Ogni punto del dominio produce un punto $(x,y,f(x,y))$. Questa rappresentazione è utile per visualizzare quote, massimi, minimi, selle e piani tangenti.

Insiemi di livello

$$\{x\in D:f(x)=c\}$$

Un insieme di livello raccoglie i punti in cui il campo scalare assume lo stesso valore $c$. In due variabili sono curve di livello; in tre variabili sono superfici di livello. In cartografia, termica e fluidodinamica gli insiemi di livello descrivono linee isoterme, equipotenziali, isobare o quote costanti.

Curve di livello e gradiente

$$f(x,y)=c$$

Una curva di livello non è, in generale, il grafico di una funzione $y=g(x)$ su tutto il dominio. È il luogo geometrico dei punti che soddisfano un’equazione. Dove il gradiente non si annulla, la curva di livello ha una direzione tangente ortogonale al gradiente.

Superfici di livello

$$f(x,y,z)=c$$

Una superficie di livello è l’analogo tridimensionale della curva di livello. Il valore $c$ seleziona una superficie nello spazio. Nei campi potenziali, superfici di livello diverse rappresentano regioni a energia, pressione o potenziale costante.

Applicazioni lineari e matrice associata

$$L:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,\qquad L(x)=Ax$$

Ogni applicazione lineare tra spazi euclidei finito-dimensionali può essere rappresentata da una matrice. In Analisi II questa idea è centrale perché la differenziabilità approssima localmente una funzione non lineare con una funzione lineare, cioè con una matrice Jacobiana.

Norma di una matrice

$$\lVert A\rVert=\sup_{\lVert x\rVert=1}\lVert Ax\rVert$$

La norma operatoriale misura il massimo fattore con cui la matrice può allungare un vettore unitario. È utile per stimare errori lineari: da $\lVert Ax\rVert\le\lVert A\rVert\lVert x\rVert$ si controlla l’effetto di $A$ su qualunque vettore.

3. Curve parametriche

Curva parametrica

$$\gamma:[a,b]\to\mathbb{R}^n,\qquad \gamma(t)=(\gamma_1(t),\dots,\gamma_n(t))$$

Una curva parametrica descrive una traiettoria tramite un parametro $t$. Il parametro può essere tempo, ascissa curvilinea o un semplice indice geometrico. La stessa immagine geometrica può essere descritta da parametri diversi: per questo bisogna distinguere la curva come insieme di punti dalla sua parametrizzazione.

Vettore tangente

$$\gamma'(t)=(\gamma_1'(t),\dots,\gamma_n'(t))$$

Il vettore tangente indica direzione e velocità con cui la curva viene percorsa. Se $\gamma'(t)=0$, la parametrizzazione è singolare in quel punto e molte formule geometriche richiedono attenzione. Una curva regolare ha vettore tangente non nullo nei punti considerati.

Velocità scalare

$$v(t)=\lVert\gamma'(t)\rVert$$

La velocità scalare misura quanto rapidamente si percorre la curva, indipendentemente dalla direzione. Se $t$ è il tempo, è la velocità fisica. Se $t$ è un parametro artificiale, misura la densità con cui la parametrizzazione distribuisce i punti lungo la curva.

Lunghezza di una curva

$$L(\gamma)=\int_a^b \lVert\gamma'(t)\rVert\,\mathrm{d}t$$

La lunghezza si ottiene integrando la velocità scalare. La formula vale per curve sufficientemente regolari. Se la parametrizzazione viene cambiata senza invertire o spezzare la curva in modo patologico, la lunghezza geometrica rimane la stessa.

Ascissa curvilinea

$$s(t)=\int_a^t\lVert\gamma'(\tau)\rVert\,\mathrm{d}\tau$$

L’ascissa curvilinea misura la distanza percorsa lungo la curva a partire dal parametro iniziale. Quando si parametrizza una curva con $s$, il vettore tangente ha norma $1$. Questa parametrizzazione è naturale per separare geometria e velocità di percorrenza.

Versore tangente

$$T(t)=\frac{\gamma'(t)}{\lVert\gamma'(t)\rVert}$$

Il versore tangente conserva solo la direzione di avanzamento, eliminando la velocità scalare. È definito solo dove $\gamma'(t)\ne0$. In cinematica e geometria differenziale serve per descrivere direzione istantanea, curvatura e orientazione lungo una traiettoria.

Curvatura di una curva piana parametrizzata per arco

$$\kappa(s)=\lVert T'(s)\rVert$$

La curvatura misura quanto rapidamente cambia la direzione tangente rispetto alla lunghezza percorsa. Una retta ha curvatura nulla; una circonferenza di raggio $R$ ha curvatura $1/R$. Più piccolo è il raggio di curvatura, più rapidamente la traiettoria piega.

Curvatura in una parametrizzazione qualunque nel piano

$$\kappa(t)=\frac{|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)|} {\bigl(x'(t)^2+y'(t)^2\bigr)^{3/2}}$$

Questa formula vale per una curva piana regolare $\gamma(t)=(x(t),y(t))$. Il numeratore misura la rotazione del vettore tangente; il denominatore corregge l’effetto della velocità di parametrizzazione. Senza questa correzione, la curvatura dipenderebbe dal modo con cui si percorre la curva.

4. Limiti e continuità in più variabili

Limite di un campo scalare

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=\ell \Longleftrightarrow \forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0:\ 0<\lVert x-x_0\rVert<\delta\Rightarrow |f(x)-\ell|<\varepsilon$$

La definizione è la stessa di Analisi I, ma la distanza da $x_0$ si misura in tutte le direzioni dello spazio. In una variabile ci si avvicina da sinistra o da destra; in più variabili ci sono infiniti percorsi possibili. Il limite esiste solo se tutti questi avvicinamenti portano allo stesso valore.

Limite di un campo vettoriale

$$\lim_{x\to x_0}F(x)=L \Longleftrightarrow \lim_{x\to x_0}F_i(x)=L_i\quad\text{per ogni }i$$

Un campo vettoriale converge se convergono tutte le sue componenti. Il limite $L$ è un vettore. Questa riduzione componente per componente è pratica, ma non bisogna perdere il significato geometrico: la norma del vettore errore deve tendere a zero.

Continuità in un punto

$$F\ \text{continua in }x_0 \Longleftrightarrow \lim_{x\to x_0}F(x)=F(x_0)$$

La continuità richiede che il valore della funzione coincida con il limite dei valori vicini. Per campi vettoriali equivale alla continuità di tutte le componenti. Una funzione può essere continua lungo molte curve e non essere continua nel punto: i test lungo curve sono utili per smentire, non sempre per dimostrare.

Limite lungo una curva

$$\gamma(t)\to x_0,\qquad \lim_{t\to t_0}f(\gamma(t))$$

Comporre $f$ con una curva riduce il problema a un limite in una variabile. Se due curve che arrivano allo stesso punto producono limiti diversi, il limite multivariato non esiste. Se molte curve producono lo stesso valore, non è ancora una prova definitiva, perché potrebbero esistere percorsi più complessi.

Test lungo rette

$$(x,y)=(x_0,y_0)+t(a,b)$$

Le rette sono i primi percorsi da controllare. Se il limite dipende dal coefficiente angolare, il limite non esiste. Se tutte le rette danno lo stesso valore, il limite può comunque non esistere: curve paraboliche, spirali o percorsi adattati alla funzione possono rivelare comportamenti nascosti.

Coordinate polari per limiti in $\mathbb{R}^2$

$$x=x_0+r\cos\theta,\qquad y=y_0+r\sin\theta,\qquad r\to0^+$$

Le coordinate polari separano distanza dal punto e direzione. Per dimostrare un limite, conviene ottenere una stima che tende a zero con $r$ uniformemente rispetto a $\theta$. Se resta una dipendenza non controllata da $\theta$, il limite può dipendere dalla direzione.

Stima tramite norma

$$|f(x)-\ell|\le C\lVert x-x_0\rVert^\alpha,\qquad \alpha>0$$

Se si riesce a maggiorare l’errore con una potenza positiva della distanza, il limite è $\ell$. Questa è una delle tecniche più robuste in più variabili: evita di inseguire singoli percorsi e dimostra il controllo simultaneo di tutte le direzioni.

Continuità delle funzioni elementari composte

$$f,g\ \text{continue}\Rightarrow f+g,\ fg,\ f\circ g\ \text{continue dove definite}$$

Somma, prodotto e composizione preservano la continuità anche in più variabili. Il quoziente è continuo dove il denominatore non si annulla. Molti campi costruiti con polinomi, esponenziali, logaritmi e radicali sono continui sul loro dominio naturale.

Teorema di Weierstrass in più variabili

$$f\in C(K),\quad K\subset\mathbb{R}^n\ \text{compatto} \Longrightarrow \exists x_m,x_M\in K:\ f(x_m)\le f(x)\le f(x_M)$$

Una funzione continua su un compatto assume massimo e minimo assoluti. In $\mathbb{R}^n$, compatto significa chiuso e limitato. Questa è la base teorica dell’ottimizzazione vincolata su domini chiusi: se le ipotesi sono verificate, gli estremi esistono prima ancora di calcolarli.

5. Derivate parziali, direzionali e gradiente

Derivata parziale rispetto a $x_i$

$$\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0) = \lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h e_i)-f(x_0)}{h}$$

La derivata parziale misura la variazione di $f$ muovendo solo la coordinata $x_i$ e lasciando fisse tutte le altre. Il vettore $e_i$ è il versore dell’asse $i$-esimo. È una derivata monodimensionale lungo una direzione coordinata, non un controllo completo del comportamento in tutte le direzioni.

Derivata direzionale

$$D_v f(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h v)-f(x_0)}{h}$$

La derivata direzionale misura la variazione lungo la direzione $v$. Se $v$ è unitario, il valore rappresenta il tasso di variazione per unità di distanza. Se $v$ non è unitario, il valore viene scalato dalla lunghezza di $v$, quindi bisogna distinguere direzione e velocità di percorrenza.

Gradiente

$$\nabla f(x)=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(x),\dots,\frac{\partial f}{\partial x_n}(x)\right)$$

Il gradiente raccoglie tutte le derivate parziali prime di un campo scalare. È un vettore che indica la direzione di crescita più rapida della funzione. La sua norma misura il massimo tasso di crescita locale per direzioni unitarie.

Derivata direzionale tramite gradiente

$$D_v f(x)=\nabla f(x)\cdot v$$

La formula vale se $f$ è differenziabile in $x$. Il prodotto scalare proietta il gradiente sulla direzione $v$. Se $v$ è ortogonale al gradiente, la derivata direzionale è nulla: al primo ordine, muoversi in quella direzione non cambia il valore della funzione.

Direzione di massima crescita

$$\max_{\lVert v\rVert=1}D_v f(x)=\lVert\nabla f(x)\rVert$$

La massima crescita locale si ottiene scegliendo $v$ parallelo al gradiente. La massima decrescita si ottiene nella direzione opposta. Questa proprietà spiega perché il gradiente è centrale in ottimizzazione numerica, discesa del gradiente e modelli di diffusione.

Ortogonalità alle superfici di livello

$$f(x)=c,\qquad \nabla f(x)\cdot \tau=0$$

Se $\tau$ è un vettore tangente all’insieme di livello e $f$ è differenziabile, il gradiente è ortogonale alla direzione tangente. Infatti lungo l’insieme di livello il valore di $f$ resta costante, quindi la variazione direzionale tangenziale è nulla. Questa proprietà dà il normale a curve e superfici implicite.

Jacobiana di un’applicazione vettoriale

$$J_F(x)= \begin{pmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial F_1}{\partial x_n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial F_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial F_m}{\partial x_n} \end{pmatrix}$$

La matrice Jacobiana contiene tutte le derivate parziali prime di $F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$. Ogni riga descrive il gradiente di una componente. È la matrice che rappresenta la migliore approssimazione lineare di $F$ vicino al punto, quando $F$ è differenziabile.

Differenziale

$$\mathrm{d}F_x(h)=J_F(x)h$$

Il differenziale è l’applicazione lineare che approssima l’incremento di $F$ quando il punto $x$ viene perturbato di $h$. La notazione evidenzia due livelli: $x$ è il punto in cui si linearizza, $h$ è lo spostamento applicato. Nel caso scalare, il differenziale è il prodotto scalare con il gradiente.

Differenziabilità

$$F(x+h)=F(x)+J_F(x)h+o(\lVert h\rVert)\qquad(h\to0)$$

Una funzione è differenziabile se il suo incremento è dato da una parte lineare più un errore trascurabile rispetto alla lunghezza dello spostamento. L’esistenza delle derivate parziali da sola non basta; serve che tutte le direzioni siano controllate da una stessa approssimazione lineare.

Condizione sufficiente di differenziabilità

$$F\in C^1(U) \Longrightarrow F\ \text{differenziabile in }U$$

Se tutte le derivate parziali prime esistono e sono continue in un aperto $U$, allora $F$ è differenziabile in $U$. È una condizione sufficiente, non necessaria. Nella pratica ingegneristica è il criterio più usato perché funzioni regolari costruite con formule elementari soddisfano spesso questa ipotesi.

Regola della catena

$$J_{F\circ G}(x)=J_F(G(x))\,J_G(x)$$

La Jacobiana della composizione è il prodotto delle Jacobiane, nello stesso ordine della composizione lineare. Prima si applica $G$, poi $F$; per le matrici, il differenziale totale si ottiene moltiplicando la matrice di $F$ valutata in $G(x)$ per quella di $G$ in $x$.

Catena lungo una curva

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(\gamma(t)) = \nabla f(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)$$

Questa formula misura la variazione di un campo scalare lungo una traiettoria. Il gradiente descrive come il campo cambia nello spazio; il vettore $\gamma'(t)$ descrive come ci si muove nello spazio. Il prodotto scalare combina le due informazioni.

6. Derivate seconde, Hessiana e Taylor multivariato

Derivate parziali seconde

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j} = \frac{\partial}{\partial x_i}\left(\frac{\partial f}{\partial x_j}\right)$$

Le derivate seconde misurano come cambiano le derivate prime. Quando $i=j$ si studia la curvatura lungo un asse coordinato; quando $i\ne j$ si studiano effetti misti, cioè come la variazione rispetto a una variabile cambia al variare di un’altra.

Teorema di Schwarz

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_i}$$

L’uguaglianza delle derivate miste vale sotto ipotesi di regolarità, tipicamente se le derivate seconde sono continue in un intorno del punto. Senza queste ipotesi l’ordine di derivazione può contare. La continuità delle derivate seconde è quindi una condizione tecnica ma sostanziale.

Matrice Hessiana

$$H_f(x)= \begin{pmatrix} f_{x_1x_1}(x) & \cdots & f_{x_1x_n}(x)\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ f_{x_nx_1}(x) & \cdots & f_{x_nx_n}(x) \end{pmatrix}$$

La Hessiana raccoglie tutte le derivate seconde di un campo scalare. Quando le derivate seconde sono continue, è una matrice simmetrica. Essa descrive la curvatura locale della funzione e decide la natura dei punti critici attraverso la forma quadratica associata.

Forma quadratica hessiana

$$h^T H_f(x)h$$

Questa quantità misura la curvatura di $f$ nella direzione dello spostamento $h$. Se è positiva per ogni $h\ne0$, la funzione piega verso l’alto in tutte le direzioni. Se è negativa per ogni $h\ne0$, piega verso il basso. Se cambia segno, ci sono direzioni di salita e discesa.

Taylor al primo ordine

$$f(x+h)=f(x)+\nabla f(x)\cdot h+o(\lVert h\rVert)$$

Il primo ordine è la linearizzazione del campo scalare. Il termine $\nabla f(x)\cdot h$ è la variazione prevista dalla tangente. L’errore è trascurabile rispetto alla lunghezza dello spostamento, quindi per perturbazioni piccole il modello lineare è dominante.

Taylor al secondo ordine

$$f(x+h)=f(x)+\nabla f(x)\cdot h+\frac12 h^T H_f(x)h+o(\lVert h\rVert^2)$$

Il secondo ordine aggiunge la curvatura. Il fattore $1/2$ è lo stesso della formula di Taylor in una variabile. Quando il gradiente si annulla, il termine quadratico diventa il primo termine non banale e decide il comportamento locale vicino a un punto critico.

Taylor con resto di Lagrange lungo un segmento

$$f(x+h)=f(x)+\nabla f(x)\cdot h+\frac12 h^T H_f(x+\theta h)h,\qquad 0<\theta<1$$

Questa forma usa la Hessiana in un punto intermedio tra $x$ e $x+h$. È utile per stimare l’errore quando si conoscono maggioranti sulle derivate seconde. La formula richiede regolarità lungo il segmento che unisce i due punti.

Taylor per funzioni vettoriali

$$F(x+h)=F(x)+J_F(x)h+R(h),\qquad \frac{\lVert R(h)\rVert}{\lVert h\rVert}\to0$$

Per applicazioni vettoriali il primo ordine è governato dalla Jacobiana. Il resto deve essere piccolo in norma rispetto a $\lVert h\rVert$. Si tratta della forma naturale per linearizzare sistemi non lineari, modelli di stato e trasformazioni geometriche.

7. Ottimizzazione libera

Punto critico

$$\nabla f(x_0)=0$$

Un punto critico è un punto in cui il gradiente si annulla. Se $x_0$ è interno al dominio e $f$ è differenziabile, ogni massimo o minimo locale deve essere un punto critico. La condizione è necessaria, non sufficiente: può indicare massimo, minimo, sella o casi degeneri.

Condizione necessaria del primo ordine

$$x_0\ \text{estremo locale interno},\quad f\ \text{differenziabile} \Longrightarrow \nabla f(x_0)=0$$

In un estremo interno non può esserci una direzione di crescita o decrescita al primo ordine. Se il gradiente fosse non nullo, muovendosi lungo il gradiente si aumenterebbe la funzione, e muovendosi in verso opposto la si diminuirebbe.

Test della Hessiana positiva definita

$$H_f(x_0)\ \text{positiva definita} \Longrightarrow x_0\ \text{minimo locale stretto}$$

Una Hessiana positiva definita significa che la forma quadratica $h^T H_f(x_0)h$ è positiva per ogni spostamento non nullo. Se il gradiente è nullo, il secondo ordine è allora positivo in tutte le direzioni e la funzione cresce allontanandosi dal punto.

Test della Hessiana negativa definita

$$H_f(x_0)\ \text{negativa definita} \Longrightarrow x_0\ \text{massimo locale stretto}$$

La negatività definita indica curvatura verso il basso in ogni direzione. Con gradiente nullo, ogni piccolo spostamento abbassa il valore della funzione. Il punto è quindi un massimo locale stretto.

Test della Hessiana indefinita

$$\exists h,k:\ h^T H_f(x_0)h>0,\qquad k^T H_f(x_0)k<0 \Longrightarrow x_0\ \text{punto di sella}$$

Se la forma quadratica assume entrambi i segni, vicino al punto esistono direzioni in cui la funzione cresce e direzioni in cui decresce. Il punto non è né massimo né minimo locale. Nei modelli fisici una sella può rappresentare un equilibrio instabile.

Criterio in due variabili

$$D=f_{xx}(x_0,y_0)f_{yy}(x_0,y_0)-f_{xy}(x_0,y_0)^2$$ $$D>0,\ f_{xx}>0\Rightarrow\text{minimo};\qquad D>0,\ f_{xx}<0\Rightarrow\text{massimo};\qquad D<0\Rightarrow\text{sella}$$

Il determinante $D$ della Hessiana distingue la forma della curvatura in due variabili. Se $D=0$, il criterio è inconcludente: servono termini di ordine superiore, studio diretto del segno di $f-f(x_0)$ o argomenti specifici.

Estremi assoluti su compatti

$$f\in C(K),\quad K\ \text{compatto} \Longrightarrow \min_K f\ \text{e}\ \max_K f\ \text{esistono}$$

Per trovare estremi assoluti su un compatto bisogna controllare sia i punti critici interni sia la frontiera. La frontiera può contenere massimi e minimi anche quando il gradiente non si annulla, perché non tutte le direzioni di movimento sono ammissibili.

8. Vincoli, funzioni implicite e moltiplicatori

Vincolo scalare

$$g(x)=0$$

Un vincolo scalare riduce le direzioni ammissibili: non ci si può muovere liberamente in tutto lo spazio, ma solo lungo l’insieme dove $g$ resta nullo. In due variabili un vincolo regolare è spesso una curva; in tre variabili è spesso una superficie.

Tangente a un vincolo

$$\nabla g(x_0)\cdot h=0$$

Se $g(x)=0$ e $\nabla g(x_0)\ne0$, gli spostamenti tangenti ammessi $h$ sono quelli ortogonali al gradiente del vincolo. Il gradiente di $g$ è normale al vincolo, quindi la condizione impone che lo spostamento resti al primo ordine sulla curva o superficie vincolata.

Moltiplicatori di Lagrange con un vincolo

$$\nabla f(x_0)=\lambda\nabla g(x_0),\qquad g(x_0)=0$$

In un estremo vincolato regolare, il gradiente della funzione obiettivo è parallelo al gradiente del vincolo. Se non lo fosse, esisterebbe una direzione tangente al vincolo lungo cui aumentare o diminuire $f$. Il moltiplicatore $\lambda$ misura la sensibilità dell’estremo rispetto al vincolo.

Moltiplicatori con più vincoli

$$\nabla f(x_0)=\sum_{j=1}^{m}\lambda_j\nabla g_j(x_0),\qquad g_j(x_0)=0$$

Con più vincoli, il gradiente di $f$ deve appartenere allo spazio generato dai gradienti dei vincoli. La regolarità richiede che i gradienti dei vincoli siano indipendenti. Se i vincoli sono degeneri, il metodo può non fornire tutte le informazioni necessarie.

Funzione implicita in due variabili

$$F(x,y)=0,\qquad F_y(x_0,y_0)\ne0 \Longrightarrow y=\varphi(x)$$

Se la derivata rispetto a $y$ non si annulla, vicino al punto l’equazione definisce $y$ come funzione di $x$. Questo non significa che l’intera curva globale sia il grafico di una funzione: il risultato è locale. La condizione $F_y\ne0$ evita tangenti verticali rispetto alla variabile scelta.

Derivata della funzione implicita

$$\varphi'(x)=-\frac{F_x(x,\varphi(x))}{F_y(x,\varphi(x))}$$

La formula si ottiene derivando $F(x,\varphi(x))=0$ rispetto a $x$. Il segno meno nasce dallo spostamento del termine $F_x$ dall’altra parte dell’equazione. È una regola operativa per calcolare pendenze senza risolvere esplicitamente il vincolo.

Teorema della funzione inversa

$$F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n,\qquad \det J_F(x_0)\ne0 \Longrightarrow F\ \text{localmente invertibile vicino a }x_0$$

Se la Jacobiana è invertibile, la trasformazione non schiaccia localmente dimensioni e ammette un’inversa locale. La condizione sul determinante è una condizione di non degenerazione lineare. In cambi di coordinate, garantisce che la trasformazione sia utilizzabile almeno vicino al punto.

Jacobiana dell’inversa

$$J_{F^{-1}}(F(x))=\bigl(J_F(x)\bigr)^{-1}$$

L’inversa annulla l’effetto della trasformazione originale, quindi la sua approssimazione lineare è l’inversa della Jacobiana. La formula vale dove l’inversa locale è definita e la Jacobiana è invertibile. È l’analogo multivariato della derivata della funzione inversa in una variabile.

9. Integrali doppi

Integrale doppio

$$\iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}A$$

L’integrale doppio accumula una densità scalare su un dominio piano $D$. Se $f=1$, restituisce l’area di $D$. Se $f$ è densità superficiale, restituisce massa; se è quota, può rappresentare volume orientato sotto una superficie.

Dominio normale rispetto all’asse $x$

$$D=\{(x,y):a\le x\le b,\ \alpha(x)\le y\le \beta(x)\}$$

Un dominio normale rispetto a $x$ si descrive scegliendo prima $x$ in un intervallo e poi $y$ tra due funzioni di $x$. Questa descrizione è adatta quando le sezioni verticali del dominio sono segmenti semplici. Se il dominio non è normale, spesso lo si spezza in parti.

Formula iterata su dominio normale

$$\iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}A = \int_a^b\left(\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f(x,y)\,\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x$$

L’integrale interno accumula lungo la sezione verticale a $x$ fissato; l’integrale esterno somma tutte le sezioni. L’ordine non è solo una scelta formale: può rendere il calcolo semplice o quasi impossibile.

Dominio normale rispetto all’asse $y$

$$D=\{(x,y):c\le y\le d,\ \gamma(y)\le x\le \delta(y)\}$$

Qui si fissano prima i valori di $y$ e poi si integra rispetto a $x$. La scelta tra normalità rispetto a $x$ o a $y$ dipende dalla geometria del dominio e dalla forma dell’integrando.

Teorema di Fubini su rettangoli

$$\iint_{[a,b]\times[c,d]} f(x,y)\,\mathrm{d}A = \int_a^b\int_c^d f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x = \int_c^d\int_a^b f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$$

Se $f$ è continua sul rettangolo, si può integrare in entrambi gli ordini. Il teorema permette di sostituire un integrale bidimensionale con due integrali monodimensionali. Nelle applicazioni conviene scegliere l’ordine che semplifica limiti e primitive.

Area di un dominio piano

$$|D|=\iint_D 1\,\mathrm{d}A$$

L’area è l’integrale della densità costante unitaria. Questa formula mostra che misura geometrica e integrazione sono la stessa operazione in casi diversi: integrare una densità significa sommare contributi infinitesimi distribuiti sul dominio.

Valor medio su un dominio

$$\overline{f}_D=\frac{1}{|D|}\iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}A$$

Il valore medio è il valore costante che produrrebbe lo stesso accumulo totale su $D$. La divisione per l’area normalizza l’integrale. Se $f$ è una temperatura su una piastra, $\overline{f}_D$ è la temperatura media superficiale.

Baricentro di una lamina

$$\bar{x}=\frac{1}{M}\iint_D x\rho(x,y)\,\mathrm{d}A,\qquad \bar{y}=\frac{1}{M}\iint_D y\rho(x,y)\,\mathrm{d}A$$

Qui $\rho$ è la densità superficiale e $M=\iint_D\rho\,\mathrm{d}A$ è la massa. Le coordinate del baricentro sono medie pesate delle coordinate dei punti. Se la densità è costante, il baricentro dipende solo dalla geometria del dominio.

Momenti di inerzia piani

$$I_x=\iint_D y^2\rho(x,y)\,\mathrm{d}A,\qquad I_y=\iint_D x^2\rho(x,y)\,\mathrm{d}A$$

Il momento rispetto all’asse $x$ pesa ogni elemento di massa con il quadrato della distanza dall’asse $x$, cioè $y^2$. Analogamente, rispetto all’asse $y$ compare $x^2$. La dipendenza quadratica rende molto rilevanti le zone lontane dall’asse.

10. Integrali tripli e cambi di variabile

Integrale triplo

$$\iiint_{\Omega} f(x,y,z)\,\mathrm{d}V$$

L’integrale triplo accumula una densità su un dominio tridimensionale $\Omega$. Se $f=1$, restituisce il volume. Se $f$ è densità volumica, restituisce massa; se è densità di energia, restituisce energia totale.

Volume

$$|\Omega|=\iiint_{\Omega}1\,\mathrm{d}V$$

Il volume è l’integrale della densità unitaria. La formula è semplice ma concettualmente importante: anche volumi di solidi complessi si calcolano sommando elementi infinitesimi di volume.

Dominio normale nello spazio

$$\Omega=\{(x,y,z):(x,y)\in D,\ \alpha(x,y)\le z\le \beta(x,y)\}$$

Un solido normale rispetto a $z$ si ottiene proiettandolo su un dominio piano $D$ e indicando, per ogni punto della proiezione, la quota inferiore e superiore. L’integrale triplo diventa un integrale in $z$ sopra un integrale doppio su $D$.

Formula iterata per integrali tripli

$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)\,\mathrm{d}V = \iint_D\left(\int_{\alpha(x,y)}^{\beta(x,y)}f(x,y,z)\,\mathrm{d}z\right)\mathrm{d}A$$

L’integrale interno accumula lungo una colonna verticale; l’integrale doppio somma le colonne sulla base. Come negli integrali doppi, una buona scelta dell’ordine di integrazione può semplificare drasticamente il problema.

Cambio di variabile nel piano

$$\iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \iint_E f(\Phi(u,v))\,\left|\det J_\Phi(u,v)\right|\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v$$

La trasformazione $\Phi$ porta il dominio $E$ nelle nuove variabili sul dominio $D$ nelle vecchie variabili. Il determinante Jacobiano misura il fattore locale di deformazione delle aree. Il valore assoluto elimina il segno dovuto all’orientazione quando si calcola area o accumulo scalare.

Cambio di variabile nello spazio

$$\iiint_{\Omega} f(x,y,z)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z = \iiint_G f(\Phi(u,v,w))\,\left|\det J_\Phi(u,v,w)\right|\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v\,\mathrm{d}w$$

Il principio è lo stesso del piano: si trasforma il dominio e si corregge il volume infinitesimo con il determinante Jacobiano. Se il determinante si annulla, la trasformazione schiaccia localmente il volume e non è un buon cambio di coordinate in quel punto.

Coordinate polari

$$x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad \mathrm{d}A=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$$

Il fattore $r$ è il Jacobiano del cambio polare. Non è opzionale: senza di esso l’area verrebbe calcolata in modo sbagliato. Le coordinate polari sono naturali per dischi, corone circolari, settori e integrandi che dipendono da $x^2+y^2$.

Coordinate cilindriche

$$x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z,\qquad \mathrm{d}V=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z$$

Le coordinate cilindriche aggiungono la quota $z$ alle polari. Sono adatte a cilindri, solidi di rotazione attorno all’asse $z$, tubazioni e problemi con simmetria assiale. Anche qui il fattore $r$ deriva dal Jacobiano.

Coordinate sferiche

$$x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi$$ $$\mathrm{d}V=\rho^2\sin\varphi\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta$$

$\rho$ è la distanza dall’origine, $\varphi$ è l’angolo rispetto all’asse $z$, $\theta$ è l’angolo azimutale nel piano $xy$. Il fattore $\rho^2\sin\varphi$ misura come si dilata un piccolo blocco nelle nuove coordinate. Le coordinate sferiche sono naturali per sfere, gusci e campi radiali.

Massa e baricentro nello spazio

$$M=\iiint_{\Omega}\rho(x,y,z)\,\mathrm{d}V$$ $$\bar{x}=\frac{1}{M}\iiint_{\Omega}x\rho\,\mathrm{d}V,\qquad \bar{y}=\frac{1}{M}\iiint_{\Omega}y\rho\,\mathrm{d}V,\qquad \bar{z}=\frac{1}{M}\iiint_{\Omega}z\rho\,\mathrm{d}V$$

La massa totale è l’accumulo della densità volumica. Il baricentro è la media pesata delle posizioni. Le simmetrie del dominio e della densità spesso permettono di determinare alcune coordinate del baricentro senza integrare.

11. Integrali di linea

Integrale di linea di prima specie

$$\int_{\gamma} f\,\mathrm{d}s = \int_a^b f(\gamma(t))\,\lVert\gamma'(t)\rVert\,\mathrm{d}t$$

Questo integrale accumula un campo scalare lungo una curva. Il fattore $\lVert\gamma'(t)\rVert$ trasforma l’incremento del parametro in incremento di lunghezza. Se $f$ è densità lineare, l’integrale dà la massa di un filo disposto lungo $\gamma$.

Massa di un filo

$$M=\int_{\gamma}\lambda\,\mathrm{d}s$$

La densità lineare $\lambda$ indica massa per unità di lunghezza. Se $\lambda$ è costante, la massa è $\lambda L(\gamma)$. Se varia lungo la curva, l’integrale pesa ogni tratto con la sua densità locale.

Integrale di linea di seconda specie

$$\int_{\gamma}F\cdot \mathrm{d}r = \int_a^b F(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)\,\mathrm{d}t$$

Questo integrale accumula la componente tangenziale di un campo vettoriale lungo una curva orientata. In meccanica rappresenta il lavoro di una forza lungo una traiettoria. Cambiare orientazione alla curva cambia il segno dell’integrale.

Lavoro di una forza

$$W=\int_{\gamma}F\cdot\mathrm{d}r$$

Il lavoro misura quanta parte della forza agisce nella direzione dello spostamento. Se la forza è ortogonale alla traiettoria in ogni punto, il lavoro è nullo. Se è concorde con lo spostamento, il contributo è positivo; se è opposta, negativo.

Circolazione su una curva chiusa

$$\oint_{\gamma}F\cdot\mathrm{d}r$$

Il simbolo di integrale chiuso indica che la curva torna al punto di partenza. La circolazione misura la tendenza del campo a spingere lungo un circuito. Nei fluidi è legata a rotazione e vorticosità; nei campi conservativi è nulla su ogni curva chiusa in domini adeguati.

Indipendenza dalla parametrizzazione

$$\int_{\gamma} f\,\mathrm{d}s\quad\text{non dipende dall'orientazione},\qquad \int_{\gamma}F\cdot\mathrm{d}r\quad\text{cambia segno se si inverte l'orientazione}$$

Gli integrali di prima specie dipendono dalla curva geometrica percorsa, non dal verso. Gli integrali di seconda specie dipendono anche dall’orientazione, perché il campo viene proiettato sul verso di percorrenza. Questa distinzione è essenziale nei problemi di lavoro e circolazione.

Campo conservativo

$$F=\nabla\phi$$

Un campo è conservativo se è il gradiente di un potenziale scalare $\phi$. In questo caso il campo deriva da un’energia potenziale o da una funzione di stato. Il lavoro lungo una curva dipende solo dagli estremi, non dal percorso.

Teorema fondamentale per gli integrali di linea

$$\int_{\gamma}\nabla\phi\cdot\mathrm{d}r = \phi(\gamma(b))-\phi(\gamma(a))$$

Se il campo è un gradiente, l’integrale lungo una curva si calcola come differenza di potenziale tra punto finale e punto iniziale. Il percorso non conta. Questo è l’analogo multidimensionale della formula di Newton-Leibniz.

Condizione di chiusura in $\mathbb{R}^2$

$$F=(P,Q),\qquad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$$

Per un campo piano regolare, questa condizione è necessaria perché il campo sia conservativo. In domini semplicemente connessi è anche sufficiente. Se il dominio ha buchi, la condizione locale può non bastare a garantire l’esistenza di un potenziale globale.

12. Superfici parametriche e integrali di superficie

Superficie parametrica

$$\sigma:D\subset\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3,\qquad \sigma(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$$

Una superficie parametrica descrive un oggetto bidimensionale nello spazio tramite due parametri. Il dominio $D$ è il piano dei parametri; la sua immagine è la superficie geometrica. Come per le curve, parametrizzazioni diverse possono descrivere la stessa superficie.

Vettori tangenti coordinati

$$\sigma_u=\frac{\partial\sigma}{\partial u},\qquad \sigma_v=\frac{\partial\sigma}{\partial v}$$

I vettori $\sigma_u$ e $\sigma_v$ sono tangenti alla superficie nelle direzioni in cui variano i parametri. Se sono linearmente indipendenti, generano il piano tangente. Se diventano dipendenti, la parametrizzazione è singolare.

Vettore normale orientato

$$N=\sigma_u\times\sigma_v$$

Il prodotto vettoriale dei due tangenti produce un vettore normale alla superficie. Il verso dipende dall’ordine dei parametri: scambiare $u$ e $v$ cambia il segno del normale. Questa scelta è l’orientazione della superficie.

Elemento di area

$$\mathrm{d}S=\lVert\sigma_u\times\sigma_v\rVert\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v$$

La norma del prodotto vettoriale misura l’area del parallelogramma infinitesimo generato dai due tangenti. È il fattore di scala che trasforma area nel piano dei parametri in area sulla superficie. Dimenticarlo equivale a trattare la superficie come se non fosse deformata dalla parametrizzazione.

Area di una superficie

$$A(S)=\iint_D\lVert\sigma_u\times\sigma_v\rVert\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v$$

L’area si ottiene integrando l’elemento di superficie su tutto il dominio parametrico. La formula vale per superfici regolari o regolari a tratti. Se la superficie è data come grafico, si può usare una forma specializzata.

Superficie grafico

$$\sigma(x,y)=(x,y,f(x,y))$$

Per una superficie data come grafico $z=f(x,y)$, i parametri naturali sono $x$ e $y$. I tangenti sono $(1,0,f_x)$ e $(0,1,f_y)$. Questo porta direttamente alla formula dell’area del grafico.

Area di un grafico

$$\mathrm{d}S=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$$

Il fattore sotto radice misura quanto il grafico è inclinato rispetto al piano $xy$. Se $f_x=f_y=0$, la superficie è localmente orizzontale e l’elemento d’area coincide con $\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$. Se le pendenze crescono, l’area reale supera l’area proiettata.

Integrale di superficie di campo scalare

$$\iint_S f\,\mathrm{d}S = \iint_D f(\sigma(u,v))\lVert\sigma_u\times\sigma_v\rVert\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v$$

Questo integrale accumula una densità scalare sulla superficie. Se $f=1$, restituisce l’area; se $f$ è densità superficiale, restituisce massa. L’integrando deve essere valutato sui punti della superficie, non sui parametri isolati.

Flusso di un campo vettoriale

$$\iint_S F\cdot n\,\mathrm{d}S = \iint_D F(\sigma(u,v))\cdot(\sigma_u\times\sigma_v)\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v$$

Il flusso misura quanta parte del campo attraversa la superficie nella direzione del normale scelto. Se si cambia orientazione, il flusso cambia segno. Nei fluidi rappresenta portata attraverso una superficie; nell’elettromagnetismo misura flusso di campo.

Superficie chiusa

$$\iint_{\partial\Omega}F\cdot n\,\mathrm{d}S$$

Per una superficie chiusa, l’orientazione convenzionale è il normale uscente dal volume $\Omega$. Un flusso positivo indica uscita netta dal volume; un flusso negativo indica ingresso netto. Questa convenzione è essenziale nel teorema della divergenza.

13. Operatori differenziali dei campi

Gradiente

$$\nabla f= \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)$$

Il gradiente trasforma un campo scalare in un campo vettoriale. Indica direzione e intensità di massima crescita. In fisica, il negativo del gradiente di un potenziale è spesso una forza o un campo associato a una caduta di energia.

Divergenza

$$\nabla\cdot F= \frac{\partial P}{\partial x} +\frac{\partial Q}{\partial y} +\frac{\partial R}{\partial z}, \qquad F=(P,Q,R)$$

La divergenza misura la sorgente locale di un campo vettoriale. Se è positiva, il campo tende a uscire da piccoli volumi attorno al punto; se è negativa, tende a entrare. Nei fluidi incomprimibili la divergenza della velocità è nulla.

Rotore

$$\nabla\times F= \left( \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right)$$

Il rotore misura la tendenza locale del campo a ruotare. La sua direzione indica l’asse della rotazione infinitesima, mentre il verso segue la regola della mano destra. In fluidodinamica è legato alla vorticità; in elettromagnetismo compare nelle equazioni di Maxwell.

Laplaciano

$$\Delta f=\nabla\cdot(\nabla f) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$$

Il Laplaciano misura una curvatura media locale del campo scalare. Compare in diffusione, conduzione termica, potenziale elettrostatico, elasticità e fluidi. Se $\Delta f=0$, la funzione è armonica e soddisfa una proprietà di equilibrio locale.

Identità $\nabla\times\nabla f=0$

$$\nabla\times(\nabla f)=0$$

Il rotore di un gradiente è nullo, sotto ipotesi di regolarità sufficienti. Questo formalizza l’idea che un campo derivante da un potenziale non possiede circolazione infinitesima. È una condizione necessaria per la conservatività di un campo.

Identità $\nabla\cdot(\nabla\times F)=0$

$$\nabla\cdot(\nabla\times F)=0$$

La divergenza di un rotore è nulla. Anche questa identità richiede derivate sufficientemente regolari. In termini geometrici, un campo puramente rotazionale non crea sorgenti o pozzi netti locali.

Campo irrotazionale

$$\nabla\times F=0$$

Un campo irrotazionale ha rotore nullo. In domini semplicemente connessi e con regolarità adeguata, un campo irrotazionale è conservativo. In domini con buchi, il rotore nullo può non bastare: la topologia del dominio influenza l’esistenza di un potenziale globale.

Campo solenoidale

$$\nabla\cdot F=0$$

Un campo solenoidale ha divergenza nulla. Significa che non ha sorgenti o pozzi locali netti. È il modello matematico di campi incomprimibili o di campi magnetici in molte formulazioni fisiche.

14. Forme differenziali e campi conservativi nel piano

Forma differenziale lineare

$$\omega=P(x,y)\,\mathrm{d}x+Q(x,y)\,\mathrm{d}y$$

Una forma differenziale lineare associa a ogni spostamento infinitesimo un lavoro elementare o una variazione. Nel piano corrisponde al campo vettoriale $F=(P,Q)$, ma mette in evidenza le componenti lungo $\mathrm{d}x$ e $\mathrm{d}y$.

Integrale di una forma lungo una curva

$$\int_{\gamma}\omega = \int_a^b\left[P(\gamma(t))x'(t)+Q(\gamma(t))y'(t)\right]\mathrm{d}t$$

Questa è la stessa struttura dell’integrale di linea di seconda specie. La forma viene valutata sulla velocità della curva. Il risultato dipende dall’orientazione della curva e rappresenta un accumulo lungo un percorso.

Forma esatta

$$\omega=\mathrm{d}\phi \Longleftrightarrow P=\frac{\partial\phi}{\partial x},\qquad Q=\frac{\partial\phi}{\partial y}$$

Una forma è esatta se deriva da un potenziale $\phi$. In questo caso l’integrale lungo una curva dipende solo dagli estremi. La parola “esatta” indica che la forma è il differenziale totale di una funzione scalare.

Forma chiusa

$$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$$

Nel piano, una forma regolare è chiusa se soddisfa questa uguaglianza. Ogni forma esatta è chiusa. Il viceversa è vero in domini semplicemente connessi, ma può fallire in domini con buchi: questa è una delle prime apparizioni della topologia dentro il calcolo.

Potenziale tramite integrale

$$\phi(x,y)=\phi(x_0,y_0)+\int_{\gamma}P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y$$

Se la forma è esatta, il valore del potenziale in $(x,y)$ si ottiene integrando lungo qualunque curva che parta da un punto base. L’indipendenza dal percorso è proprio la proprietà che rende ben definita la formula.

15. Teoremi integrali

Teorema di Green

$$\oint_{\partial D}P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y = \iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}A$$

Il teorema di Green collega la circolazione lungo il bordo di un dominio piano con il rotore scalare all’interno. Il bordo deve essere orientato positivamente, cioè percorso in modo che il dominio resti a sinistra. La formula trasforma un integrale di linea in un integrale doppio, o viceversa.

Green per l’area

$$|D|=\frac12\oint_{\partial D}x\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm{d}x$$

Questa formula calcola l’area di un dominio piano usando solo il bordo. Si ottiene scegliendo opportunamente $P$ e $Q$ nel teorema di Green. È utile quando il bordo è parametrizzato in modo semplice mentre il dominio interno è scomodo da descrivere.

Teorema della divergenza nel piano

$$\oint_{\partial D}F\cdot n\,\mathrm{d}s = \iint_D\nabla\cdot F\,\mathrm{d}A$$

Il flusso uscente attraverso il bordo di un dominio piano è uguale all’integrale della divergenza nel dominio. In termini fisici, ciò che esce dal bordo deve essere prodotto dalle sorgenti interne, al netto dei pozzi.

Teorema della divergenza nello spazio

$$\iint_{\partial\Omega}F\cdot n\,\mathrm{d}S = \iiint_{\Omega}\nabla\cdot F\,\mathrm{d}V$$

Il flusso uscente da una superficie chiusa è uguale alla somma delle sorgenti nel volume. Il normale è quello uscente. La formula è una legge di bilancio: un fenomeno locale, la divergenza, determina una quantità globale, il flusso attraverso il bordo.

Teorema di Stokes

$$\oint_{\partial S}F\cdot\mathrm{d}r = \iint_S(\nabla\times F)\cdot n\,\mathrm{d}S$$

Stokes collega la circolazione lungo il bordo di una superficie con il flusso del rotore attraverso la superficie. L’orientazione del bordo e quella del normale devono essere compatibili tramite la regola della mano destra. Green è un caso particolare di Stokes per superfici piane.

Interpretazione dei tre teoremi

$$\text{bordo}\longleftrightarrow\text{interno}$$

Green, Gauss e Stokes hanno la stessa filosofia: una quantità integrata sul bordo è uguale a una quantità differenziale integrata sull’interno. In ingegneria questo è il linguaggio matematico delle leggi di conservazione, dei bilanci di massa, energia, quantità di moto e carica.

16. Equazioni differenziali e sistemi dinamici essenziali

Sistema del primo ordine

$$x'(t)=F(t,x(t)),\qquad x(t)\in\mathbb{R}^n$$

Un sistema differenziale descrive l’evoluzione di uno stato vettoriale. Ogni componente dello stato può rappresentare posizione, velocità, temperatura, concentrazione o variabile interna di un modello. Molte equazioni di ordine superiore si riscrivono come sistemi del primo ordine aumentando il numero di variabili.

Problema di Cauchy

$$\begin{cases} x'(t)=F(t,x(t)),\\ x(t_0)=x_0. \end{cases}$$

L’equazione descrive le regole di evoluzione; la condizione iniziale seleziona la traiettoria che parte dallo stato $x_0$ al tempo $t_0$. La buona posizione del problema richiede condizioni che garantiscano esistenza e unicità, tipicamente continuità e regolarità di Lipschitz rispetto allo stato.

Sistema lineare autonomo

$$x'(t)=Ax(t)$$

La matrice $A$ determina completamente la dinamica. Gli autovalori di $A$ controllano crescita, decadimento e oscillazioni. Se gli autovalori hanno parte reale negativa, le componenti associate decadono; se hanno parte reale positiva, crescono.

Soluzione tramite esponenziale di matrice

$$x(t)=e^{A(t-t_0)}x_0$$

L’esponenziale di matrice generalizza l’esponenziale scalare. È definito tramite una serie di potenze e risolve il sistema lineare autonomo. Non va trattato come un esponenziale numerico ordinario: le matrici possono non commutare, quindi molte regole scalari non valgono senza ipotesi.

Linearizzazione di un sistema non lineare

$$x'=F(x),\qquad x=x_e+h,\qquad h'\approx J_F(x_e)h$$

Se $x_e$ è un equilibrio, cioè $F(x_e)=0$, la dinamica vicino all’equilibrio è approssimata dal sistema lineare con matrice Jacobiana in $x_e$. Gli autovalori della Jacobiana forniscono informazioni locali sulla stabilità. La linearizzazione è locale: lontano dall’equilibrio i termini non lineari possono dominare.

Equilibrio

$$F(x_e)=0$$

Un equilibrio è uno stato in cui la derivata temporale è nulla. Se il sistema parte esattamente da $x_e$, resta lì. La domanda ingegneristica principale è che cosa accade se lo stato viene perturbato: torna all’equilibrio, se ne allontana o oscilla attorno ad esso?

17. Schemi operativi di risoluzione

Limite in più variabili

$$\text{percorsi diversi}\Rightarrow\text{non esistenza},\qquad \text{stima uniforme in }\lVert x-x_0\rVert\Rightarrow\text{esistenza}$$

Per negare un limite, cercare due percorsi che portano a valori diversi. Per dimostrarlo, cercare una stima indipendente dal percorso. Le coordinate polari sono spesso lo strumento più pulito nel piano, ma devono eliminare la dipendenza dall’angolo o renderla uniformemente limitata.

Differenziabilità

$$F(x+h)-F(x)-J_F(x)h=o(\lVert h\rVert)$$

La verifica diretta consiste nel sottrarre la parte lineare e controllare che il resto sia più piccolo di $\lVert h\rVert$. Se le derivate parziali sono continue, si usa il criterio $C^1$; se non lo sono, bisogna tornare alla definizione.

Estremi liberi

$$\nabla f=0,\qquad H_f,\qquad \text{studio dei casi degeneri}$$

Si trovano prima i punti critici, poi si classifica con la Hessiana. Se il criterio è inconcludente, si studia direttamente il segno di $f(x)-f(x_0)$ o si usa Taylor di ordine superiore. Per estremi assoluti si aggiungono frontiera e compattezza.

Estremi vincolati

$$\nabla f=\sum_j\lambda_j\nabla g_j,\qquad g_j=0$$

Il sistema di Lagrange fornisce i candidati interni al vincolo regolare. Vanno poi confrontati i valori della funzione e controllati eventuali punti singolari del vincolo, estremi del parametro o componenti di frontiera non coperte dalle ipotesi.

Integrali multipli

$$\text{disegno del dominio},\qquad \text{scelta dell'ordine},\qquad \text{eventuale cambio di coordinate}$$

Il calcolo parte sempre dalla geometria del dominio. Disegnare proiezioni, frontiere e sezioni evita errori nei limiti di integrazione. Un cambio di coordinate è conveniente quando semplifica simultaneamente dominio, integrando o entrambi.

Integrali di linea e superficie

$$\text{parametrizzazione},\qquad \gamma'(t)\ \text{o}\ \sigma_u\times\sigma_v,\qquad \text{orientazione}$$

Per curve e superfici bisogna prima scegliere una parametrizzazione regolare. Negli integrali scalari contano lunghezza e area; negli integrali vettoriali conta anche l’orientazione. Un segno sbagliato nel normale o nel verso del bordo cambia il risultato.

Teoremi integrali

$$\text{Green},\qquad \text{Gauss},\qquad \text{Stokes}$$

Prima di applicare un teorema integrale, verificare regolarità del campo, regolarità del dominio e orientazione. La scelta tra integrale sul bordo e integrale interno dipende da quale dei due è più semplice. Spesso il teorema serve proprio a evitare un calcolo diretto difficile.

Controllo finale delle ipotesi

$$\text{dominio},\quad \text{regolarità},\quad \text{compattezza},\quad \text{orientazione},\quad \text{Jacobiano}$$

Ogni formula di Analisi II ha condizioni geometriche oltre che analitiche. Un dominio non compatto può far mancare estremi; una parametrizzazione singolare può invalidare un integrale; un Jacobiano dimenticato altera aree e volumi; un’orientazione incoerente cambia il segno di flussi e circolazioni.