Formulario di Analisi Matematica II

Formulario completo e commentato di Analisi Matematica II per ingegneria. Il programma proposto è molto buono: copre il nucleo standard di calcolo multivariato, ottimizzazione, integrazione multipla e calcolo vettoriale. Lo rendo però più organico separando meglio i prerequisiti geometrici dagli strumenti analitici, aggiungendo successioni in $\mathbb{R}^n$ , continuità uniforme, insiemi semplicemente connessi, orientazione, cambi di variabili generali, criteri operativi per domini normali e una sezione finale di procedure da esercizio.

L’ordine consigliato è:

geometria e topologia di $\mathbb{R}^n$ ;
limiti, continuità, compattezza e teoremi globali;
differenziabilità, Taylor e classificazione locale;
ottimizzazione libera e vincolata;
curve, campi vettoriali e forme differenziali;
integrali doppi, tripli e cambi di coordinate;
superfici e teoremi di Green, Stokes e Gauss.

Il punto chiave di Analisi II è il passaggio da una variabile a più variabili: non basta “derivare rispetto a una lettera”. Bisogna controllare direzioni, geometria del dominio, orientazione, regolarità e significato fisico delle quantità integrate.

1. Geometria di base in $\mathbb{R}^n$

Vettori, prodotto scalare e norma euclidea

Un punto di $\mathbb{R}^n$ si scrive

\displaystyle x=(x_1,x_2,\dots,x_n).

Il prodotto scalare euclideo è

\displaystyle x\cdot y=\sum_{i=1}^n x_i y_i.

La norma euclidea è

\displaystyle \|x\|=\sqrt{x\cdot x} =\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}.

La distanza tra due punti è

\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|.

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz:

\displaystyle |x\cdot y|\le \|x\|\,\|y\|.

Disuguaglianza triangolare:

\displaystyle \|x+y\|\le \|x\|+\|y\|.

Commento operativo: quasi tutte le stime di limite in più variabili si riducono a maggiorare una funzione con una potenza di $\|(x,y)-p_0\|$ . In $\mathbb{R}^2$ è spesso utile ricordare che, vicino all’origine,

\displaystyle |x|\le \sqrt{x^2+y^2}, \qquad |y|\le \sqrt{x^2+y^2}.

Norme equivalenti

In $\mathbb{R}^n$ sono frequenti anche

\displaystyle \|x\|_1=\sum_{i=1}^n |x_i|, \qquad \|x\|_\infty=\max_{1\le i\le n}|x_i|.

In dimensione finita tutte le norme sono equivalenti: esistono costanti $c,C>0$ tali che

\displaystyle c\|x\|_a\le \|x\|_b\le C\|x\|_a.

Conseguenza: apertura, chiusura, convergenza e continuità non dipendono dalla norma scelta, purché si lavori in $\mathbb{R}^n$ finito-dimensionale.

Intorni, palle e sfere

Palla aperta di centro $x_0$ e raggio $r>0$ :

\displaystyle B_r(x_0)=\{x\in\mathbb{R}^n:\|x-x_0\|<r\}.

Palla chiusa:

\displaystyle \overline{B}_r(x_0)=\{x\in\mathbb{R}^n:\|x-x_0\|\le r\}.

Sfera:

\displaystyle S_r(x_0)=\{x\in\mathbb{R}^n:\|x-x_0\|=r\}.

Un intorno di $x_0$ è un insieme che contiene almeno una palla aperta centrata in $x_0$ .

Aperti, chiusi, frontiera

Un insieme $A\subset\mathbb{R}^n$ è aperto se

\displaystyle \forall x\in A,\ \exists r>0:\ B_r(x)\subset A.

Un insieme $A$ è chiuso se contiene tutti i suoi punti di accumulazione, oppure equivalentemente se $\mathbb{R}^n\setminus A$ è aperto.

Interno:

\displaystyle \operatorname{int}(A)=\{x\in A:\exists r>0,\ B_r(x)\subset A\}.

Chiusura:

\displaystyle \overline{A}=A\cup A',

dove $A'$ è l’insieme dei punti di accumulazione.

Frontiera:

\displaystyle \partial A=\overline{A}\setminus \operatorname{int}(A).

Commento operativo: per studiare un dominio di integrazione conviene sempre distinguere interno, bordo e orientazione del bordo. Negli integrali multipli il bordo spesso ha misura nulla; nei teoremi di Green, Stokes e Gauss diventa invece il protagonista.

Successioni in $\mathbb{R}^n$

Una successione $x_k\in\mathbb{R}^n$ converge a $x$ se

\displaystyle \lim_{k\to\infty}\|x_k-x\|=0.

Equivalentemente, se $x_k=(x_{k,1},\dots,x_{k,n})$ ,

\displaystyle x_k\to x \quad\Longleftrightarrow\quad x_{k,i}\to x_i\quad\text{per ogni }i=1,\dots,n.

Criterio sequenziale di chiusura:

\displaystyle A\text{ chiuso} \quad\Longleftrightarrow\quad \bigl(x_k\in A,\ x_k\to x\bigr)\Rightarrow x\in A.

Compatti, connessi e convessi

Teorema di Heine-Borel in $\mathbb{R}^n$ :

\displaystyle K\subset\mathbb{R}^n\text{ compatto} \quad\Longleftrightarrow\quad K\text{ chiuso e limitato}.

Un insieme è limitato se

\displaystyle \exists R>0:\ A\subset B_R(0).

Un insieme è connesso per archi se, per ogni $p,q\in A$ , esiste una curva continua $\gamma:[0,1]\to A$ tale che

\displaystyle \gamma(0)=p,\qquad \gamma(1)=q.

Un insieme è convesso se

\displaystyle \forall p,q\in A,\ \forall t\in[0,1], \qquad (1-t)p+tq\in A.

Ogni convesso è connesso per archi. Il viceversa è falso.

2. Limiti e continuità in più variabili

Definizione epsilon-delta

Sia $f:A\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ e sia $x_0$ punto di accumulazione per $A$ . Si dice che

\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=\ell

\displaystyle \forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0: 0<\|x-x_0\|<\delta,\ x\in A \Rightarrow \|f(x)-\ell\|<\varepsilon.

Continuità in $x_0$ :

\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).

Commento operativo: in più variabili il limite deve essere lo stesso lungo tutte le traiettorie che arrivano a $x_0$ . Verificare due rette non dimostra il limite; trovare due traiettorie con risultati diversi lo nega.

Criterio per negare un limite

Se esistono due curve $\gamma_1(t)$ e $\gamma_2(t)$ tali che

\displaystyle \gamma_1(t)\to x_0,\qquad \gamma_2(t)\to x_0,

\displaystyle \lim_{t\to t_0} f(\gamma_1(t)) \ne \lim_{t\to t_0} f(\gamma_2(t)),

allora il limite non esiste.

Traiettorie tipiche in $\mathbb{R}^2$ :

\displaystyle y=mx,\qquad y=kx^\alpha,\qquad x=0,\qquad y=0.

Coordinate polari per limiti in $\mathbb{R}^2$

Vicino all’origine:

\displaystyle x=\rho\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\theta,\qquad \rho=\sqrt{x^2+y^2}.

Se si riesce a scrivere

\displaystyle |f(x,y)-\ell|\le g(\rho) \quad\text{con}\quad g(\rho)\to0,

uniformemente rispetto a $\theta$ , allora

\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=\ell.

Passo passo:

sostituisci $x=\rho\cos\theta$ e $y=\rho\sin\theta$ ;
raccogli le potenze di $\rho$ ;
controlla che la parte angolare sia limitata;
concludi solo se il risultato tende a zero per ogni $\theta$ in modo uniforme.

Esempio di forma favorevole:

\displaystyle f(x,y)=\dfrac{x^2y}{x^2+y^2} \quad\Rightarrow\quad f(\rho,\theta)=\rho\cos^2\theta\sin\theta.

Poiché $|\cos^2\theta\sin\theta|\le1$ , il limite è zero.

Stime con la norma

Se $p+q>r$ , allora vicino all’origine

\displaystyle \left|\dfrac{x^p y^q}{(x^2+y^2)^{\dfrac{r}{2}}}\right| \le \dfrac{\|(x,y)\|^{p+q}}{\|(x,y)\|^r} =\|(x,y)\|^{p+q-r}\to0.

Questa è una delle tecniche più rapide per limiti razionali omogenei.

Teoremi globali sulle funzioni continue

Se $f:K\to\mathbb{R}$ è continua e $K$ è compatto, allora $f$ è limitata e ammette massimo e minimo assoluti:

\displaystyle \exists x_m,x_M\in K: \quad f(x_m)\le f(x)\le f(x_M)\quad\forall x\in K.

Questo è il teorema di Weierstrass.

Se $K$ è compatto e $f:K\to\mathbb{R}$ è continua, allora $f$ è uniformemente continua:

\displaystyle \forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0: \|x-y\|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon.

Commento operativo: quando un esercizio chiede esistenza di massimi/minimi assoluti, la prima domanda non è derivare. La prima domanda è: il dominio è compatto e la funzione è continua?

3. Calcolo differenziale in più variabili

Derivate parziali

Per $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ , la derivata parziale rispetto a $x_i$ in $x_0$ è

\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(x_0) = \lim_{h\to0} \dfrac{f(x_0+h e_i)-f(x_0)}{h}.

In $\mathbb{R}^2$ :

\displaystyle f_x(x_0,y_0)= \lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h},

\displaystyle f_y(x_0,y_0)= \lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}{h}.

Attenzione: l’esistenza delle derivate parziali non implica la continuità e non implica la differenziabilità.

Gradiente e derivata direzionale

Il gradiente è

\displaystyle \nabla f(x)= \left( \dfrac{\partial f}{\partial x_1}, \dots, \dfrac{\partial f}{\partial x_n} \right).

La derivata direzionale nella direzione unitaria $v$ è

\displaystyle D_v f(x_0)= \lim_{t\to0}\dfrac{f(x_0+t v)-f(x_0)}{t}.

Se $f$ è differenziabile in $x_0$ , allora

\displaystyle D_v f(x_0)=\nabla f(x_0)\cdot v.

La direzione di massima crescita è quella del gradiente:

\displaystyle \max_{\|v\|=1}D_v f(x_0)=\|\nabla f(x_0)\|.

La direzione di massima discesa è

\displaystyle v=-\dfrac{\nabla f(x_0)}{\|\nabla f(x_0)\|},

se $\nabla f(x_0)\ne0$ .

Differenziabilità

Una funzione $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ è differenziabile in $x_0$ se esiste un’applicazione lineare $L$ tale che

\displaystyle f(x_0+h)=f(x_0)+L(h)+o(\|h\|) \quad\text{per }h\to0.

In questo caso

\displaystyle L(h)=\nabla f(x_0)\cdot h.

Quindi

\displaystyle f(x_0+h)= f(x_0)+\nabla f(x_0)\cdot h+o(\|h\|).

Condizione sufficiente pratica: se le derivate parziali esistono in un intorno di $x_0$ e sono continue in $x_0$ , allora $f$ è differenziabile in $x_0$ .

Differenziale totale

Per $f=f(x_1,\dots,x_n)$ ,

\displaystyle df= \dfrac{\partial f}{\partial x_1}dx_1+ \cdots+ \dfrac{\partial f}{\partial x_n}dx_n.

In due variabili:

\displaystyle df=f_x\,dx+f_y\,dy.

Commento ingegneristico: il differenziale totale approssima la variazione della grandezza quando le variabili subiscono piccoli incrementi:

\displaystyle \Delta f\approx df.

Piano tangente e normale

Per il grafico $z=f(x,y)$ , il piano tangente in $(x_0,y_0,z_0)$ è

\displaystyle z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0),

dove $z_0=f(x_0,y_0)$ .

Se una superficie è data implicitamente da

\displaystyle F(x,y,z)=0,

e $\nabla F(p_0)\ne0$ , il piano tangente in $p_0=(x_0,y_0,z_0)$ è

\displaystyle \nabla F(p_0)\cdot\bigl((x,y,z)-p_0\bigr)=0.

Il vettore normale è

\displaystyle n=\nabla F(p_0).

Regola della catena

Se $z=f(x,y)$ , con $x=x(t)$ e $y=y(t)$ , allora

\displaystyle \dfrac{dz}{dt} =f_x(x(t),y(t))x'(t)+f_y(x(t),y(t))y'(t).

In forma vettoriale:

\displaystyle \dfrac{d}{dt}f(\gamma(t)) =\nabla f(\gamma(t))\cdot\gamma'(t).

Per una composizione $F=f\circ g$ , con $g:\mathbb{R}^p\to\mathbb{R}^n$ e $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ ,

\displaystyle J_F(x)=J_f(g(x))\,J_g(x).

Qui $J$ indica la matrice jacobiana.

4. Derivate seconde, Hessiana e Taylor

Derivate seconde e teorema di Schwarz

Le derivate seconde sono

\displaystyle f_{x_i x_j} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_i}.

Se $f_{x_i x_j}$ e $f_{x_j x_i}$ sono continue in un intorno di $x_0$ , allora

\displaystyle f_{x_i x_j}(x_0)=f_{x_j x_i}(x_0).

Questo è il teorema di Schwarz.

Matrice Hessiana

La matrice Hessiana di $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ è

\displaystyle H_f(x)= \begin{pmatrix} f_{x_1x_1} & f_{x_1x_2} & \cdots & f_{x_1x_n}\\ f_{x_2x_1} & f_{x_2x_2} & \cdots & f_{x_2x_n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ f_{x_nx_1} & f_{x_nx_2} & \cdots & f_{x_nx_n} \end{pmatrix}.

Se le derivate seconde miste sono continue, $H_f$ è simmetrica.

Formula di Taylor al secondo ordine

Se $f$ è di classe $C^2$ vicino a $x_0$ , allora

\displaystyle f(x_0+h) = f(x_0)+\nabla f(x_0)\cdot h +\dfrac{1}{2} h^T H_f(x_0)h +o(\|h\|^2).

In due variabili, con $h=(\Delta x,\Delta y)$ :

\displaystyle \begin{aligned} f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y) =\;&f(x_0,y_0) +f_x\Delta x+f_y\Delta y\\ &+\dfrac{1}{2}\left( f_{xx}\Delta x^2 +2f_{xy}\Delta x\Delta y +f_{yy}\Delta y^2 \right) +o(\Delta x^2+\Delta y^2). \end{aligned}

Commento operativo: Taylor al secondo ordine è lo strumento naturale per classificare punti critici e stimare errori locali. Il termine lineare decide se il punto è critico; il termine quadratico decide la geometria locale quando il termine lineare sparisce.

5. Ottimizzazione libera

Punti critici

Se $f:\Omega\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ è differenziabile e $x_0$ è un estremo locale interno a $\Omega$ , allora

\displaystyle \nabla f(x_0)=0.

Un punto con gradiente nullo si chiama punto critico o stazionario.

Attenzione: gradiente nullo è condizione necessaria per estremi interni, non sufficiente.

Classificazione in due variabili

Sia $(x_0,y_0)$ un punto critico e siano

\displaystyle A=f_{xx}(x_0,y_0), \qquad B=f_{xy}(x_0,y_0), \qquad C=f_{yy}(x_0,y_0).

Il determinante Hessiano è

\displaystyle D=AC-B^2.

Allora:

\displaystyle D>0,\ A>0 \quad\Rightarrow\quad \text{minimo locale};

\displaystyle D>0,\ A<0 \quad\Rightarrow\quad \text{massimo locale};

\displaystyle D<0 \quad\Rightarrow\quad \text{punto di sella};

\displaystyle D=0 \quad\Rightarrow\quad \text{test inconcludente}.

Classificazione in $\mathbb{R}^n$

Nel punto critico $x_0$ , la forma quadratica associata all’Hessiana è

\displaystyle Q(h)=h^T H_f(x_0)h.

Se $Q(h)>0$ per ogni $h\ne0$ , allora $x_0$ è minimo locale stretto.

Se $Q(h)<0$ per ogni $h\ne0$ , allora $x_0$ è massimo locale stretto.

Se $Q$ assume valori positivi e negativi, allora $x_0$ è punto di sella.

Se $Q$ è semidefinita, il test del secondo ordine non basta.

Criterio di Sylvester per Hessiana definita positiva:

\displaystyle \Delta_k>0 \quad\text{per ogni }k=1,\dots,n,

dove $\Delta_k$ sono i minori principali di testa.

Per definita negativa:

\displaystyle (-1)^k\Delta_k>0 \quad\text{per ogni }k=1,\dots,n.

Massimi e minimi assoluti

Procedura su un compatto $K$ :

verifica che $K$ sia chiuso e limitato;
trova i punti critici interni;
studia il bordo con parametrizzazioni o vincoli;
valuta $f$ su tutti i candidati;
confronta i valori.

Formula mentale:

\displaystyle \text{estremo assoluto} = \text{miglior valore tra interno e bordo}.

6. Ottimizzazione vincolata, Dini e funzione inversa

Moltiplicatori di Lagrange con un vincolo

Per ottimizzare $f(x)$ sotto il vincolo

\displaystyle g(x)=0,

si risolve

\displaystyle \nabla f(x)=\lambda\nabla g(x), \qquad g(x)=0.

Condizione regolare:

\displaystyle \nabla g(x)\ne0.

Interpretazione: nel punto di estremo vincolato, il gradiente di $f$ non può avere componente tangenziale alla varietà vincolare; perciò è normale al vincolo, come $\nabla g$ .

Moltiplicatori con $m$ vincoli

Con vincoli

\displaystyle g_1(x)=0,\dots,g_m(x)=0,

si cerca

\displaystyle \nabla f(x)= \lambda_1\nabla g_1(x)+\cdots+\lambda_m\nabla g_m(x),

insieme a

\displaystyle g_1(x)=0,\dots,g_m(x)=0.

La condizione di regolarità è che i gradienti dei vincoli siano linearmente indipendenti:

\displaystyle \operatorname{rank} \begin{pmatrix} \nabla g_1\\ \vdots\\ \nabla g_m \end{pmatrix} =m.

Funzioni implicite, teorema di Dini

Sia $F(x,y)=0$ , con $F:\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{m}\to\mathbb{R}^{m}$ di classe $C^1$ . Se

\displaystyle F(x_0,y_0)=0

\displaystyle \det F_y(x_0,y_0)\ne0,

allora localmente esiste una funzione $y=\varphi(x)$ tale che

\displaystyle F(x,\varphi(x))=0.

La derivata della funzione implicita è

\displaystyle D\varphi(x)= -\bigl(F_y(x,\varphi(x))\bigr)^{-1}F_x(x,\varphi(x)).

Caso scalare $F(x,y)=0$ :

\displaystyle y'(x)= -\dfrac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}.

Teorema della funzione inversa

Sia $F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ di classe $C^1$ . Se

\displaystyle \det J_F(x_0)\ne0,

allora $F$ è localmente invertibile vicino a $x_0$ e

\displaystyle J_{F^{-1}}(F(x_0))= \bigl(J_F(x_0)\bigr)^{-1}.

Commento operativo: Dini e funzione inversa sono teoremi di non degenerazione. In entrambi i casi il determinante non nullo dice che localmente non si è perso un grado di libertà.

7. Curve in $\mathbb{R}^n$

Curve parametriche

Una curva parametrica è una funzione

\displaystyle \gamma:[a,b]\to\mathbb{R}^n, \qquad \gamma(t)=(x_1(t),\dots,x_n(t)).

Il vettore velocità è

\displaystyle \gamma'(t).

La curva è regolare se

\displaystyle \gamma'(t)\ne0 \quad\text{per ogni }t.

Lunghezza d’arco

La lunghezza della curva è

\displaystyle L(\gamma)=\int_a^b \|\gamma'(t)\|\,dt.

L’elemento di arco è

\displaystyle ds=\|\gamma'(t)\|\,dt.

Ascissa curvilinea:

\displaystyle s(t)=\int_a^t \|\gamma'(\tau)\|\,d\tau.

Se $\|\gamma'(s)\|=1$ , la curva è parametrizzata per lunghezza d’arco.

Vettore tangente, normale, binormale

Il versore tangente è

\displaystyle T(t)=\dfrac{\gamma'(t)}{\|\gamma'(t)\|}.

Per una curva parametrizzata da $s$ :

\displaystyle \kappa(s)=\|T'(s)\|

è la curvatura.

Se $\kappa(s)\ne0$ , il versore normale è

\displaystyle N(s)=\dfrac{T'(s)}{\|T'(s)\|}.

In $\mathbb{R}^3$ , il binormale è

\displaystyle B(s)=T(s)\times N(s).

Le formule di Frenet-Serret sono

\displaystyle T'=\kappa N,

\displaystyle N'=-\kappa T+\tau B,

\displaystyle B'=-\tau N,

dove $\tau$ è la torsione.

Curvatura con parametro generico

Per una curva piana $\gamma(t)=(x(t),y(t))$ :

\displaystyle \kappa(t)= \dfrac{|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)|} {\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\dfrac{3}{2}}}.

Per una curva nello spazio:

\displaystyle \kappa(t)= \dfrac{\|\gamma'(t)\times\gamma''(t)\|} {\|\gamma'(t)\|^3}.

Torsione:

\displaystyle \tau(t)= \dfrac{\det(\gamma'(t),\gamma''(t),\gamma'''(t))} {\|\gamma'(t)\times\gamma''(t)\|^2}.

Integrali di linea di prima specie

Per un campo scalare $f$ lungo una curva $\gamma$ :

\displaystyle \int_\gamma f\,ds = \int_a^b f(\gamma(t))\|\gamma'(t)\|\,dt.

Usi tipici: massa di un filo, baricentro di una curva, carica distribuita su una traiettoria.

Se $\rho$ è densità lineare:

\displaystyle m=\int_\gamma \rho\,ds.

Baricentro:

\displaystyle \bar{x}= \dfrac{1}{m}\int_\gamma x\,\rho\,ds, \qquad \bar{y}= \dfrac{1}{m}\int_\gamma y\,\rho\,ds.

Integrali di linea di seconda specie

Per un campo vettoriale $F$ :

\displaystyle \int_\gamma F\cdot d r = \int_a^b F(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)\,dt.

In $\mathbb{R}^2$ , se $F=(P,Q)$ :

\displaystyle \int_\gamma P\,dx+Q\,dy = \int_a^b \left[ P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t) \right]dt.

Interpretazione fisica: lavoro di una forza lungo una traiettoria.

Orientazione: invertendo il verso della curva, l’integrale di seconda specie cambia segno; quello di prima specie no.

8. Campi vettoriali e forme differenziali

Operatori differenziali

Gradiente:

\displaystyle \nabla f= \left(f_x,f_y,f_z\right).

Divergenza:

\displaystyle \operatorname{div}F=\nabla\cdot F = \dfrac{\partial P}{\partial x} +\dfrac{\partial Q}{\partial y} +\dfrac{\partial R}{\partial z},

per $F=(P,Q,R)$ .

Rotore:

\displaystyle \operatorname{rot}F=\nabla\times F = \begin{vmatrix} i & j & k\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z\\ P & Q & R \end{vmatrix}.

Laplaciano:

\displaystyle \Delta f=\nabla\cdot\nabla f = f_{xx}+f_{yy}+f_{zz}.

In $\mathbb{R}^n$ :

\displaystyle \Delta f=\sum_{i=1}^n \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}.

Identità vettoriali fondamentali

Se le funzioni sono sufficientemente regolari:

\displaystyle \operatorname{rot}(\nabla f)=0.

\displaystyle \operatorname{div}(\operatorname{rot}F)=0.

\displaystyle \operatorname{div}(fF)=\nabla f\cdot F+f\,\operatorname{div}F.

\displaystyle \operatorname{rot}(fF)=\nabla f\times F+f\,\operatorname{rot}F.

Campi conservativi

Un campo $F$ è conservativo se esiste un potenziale scalare $\phi$ tale che

\displaystyle F=\nabla\phi.

Allora

\displaystyle \int_\gamma F\cdot dr = \phi(B)-\phi(A),

dove $A$ e $B$ sono gli estremi della curva.

Conseguenze:

\displaystyle \int_\gamma F\cdot dr

dipende solo dagli estremi, e per ogni curva chiusa $\Gamma$ :

\displaystyle \oint_\Gamma F\cdot dr=0.

In $\mathbb{R}^2$ , per $F=(P,Q)$ di classe $C^1$ :

\displaystyle F\text{ conservativo} \Rightarrow P_y=Q_x.

Se il dominio è semplicemente connesso, vale anche il viceversa:

\displaystyle P_y=Q_x \quad\Rightarrow\quad F\text{ conservativo}.

Forme differenziali

Una forma differenziale in $\mathbb{R}^2$ è

\displaystyle \omega=P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy.

La forma è esatta se esiste $\phi$ tale che

\displaystyle d\phi=\omega.

Cioè:

\displaystyle \phi_x=P, \qquad \phi_y=Q.

La forma è chiusa se

\displaystyle P_y=Q_x.

Ogni forma esatta è chiusa. In un dominio stellato o semplicemente connesso, ogni forma chiusa di classe $C^1$ è esatta. Questo è il contenuto operativo del lemma di Poincaré.

Procedura per trovare il potenziale:

integra $P$ rispetto a $x$ :

\displaystyle \phi(x,y)=\int P(x,y)\,dx+C(y);

deriva rispetto a $y$ ;
imponi $\phi_y=Q$ ;
determina $C'(y)$ e poi $C(y)$ .

9. Integrali doppi

Integrale doppio e dominio normale

L’integrale doppio di $f$ su $D$ si indica con

\displaystyle \iint_D f(x,y)\,dA.

Se $D$ è normale rispetto all’asse $x$ :

\displaystyle D=\{(x,y):a\le x\le b,\ \alpha(x)\le y\le \beta(x)\},

allora

\displaystyle \iint_D f(x,y)\,dA = \int_a^b \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x,y)\,dy\,dx.

Se $D$ è normale rispetto all’asse $y$ :

\displaystyle D=\{(x,y):c\le y\le d,\ \gamma(y)\le x\le \delta(y)\},

allora

\displaystyle \iint_D f(x,y)\,dA = \int_c^d \int_{\gamma(y)}^{\delta(y)} f(x,y)\,dx\,dy.

Fubini-Tonelli

Se $f$ è continua su un dominio rettangolare $R=[a,b]\times[c,d]$ , allora

\displaystyle \iint_R f(x,y)\,dA = \int_a^b\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx = \int_c^d\int_a^b f(x,y)\,dx\,dy.

Se $f\ge0$ , Tonelli permette lo scambio dell’ordine anche in casi impropri, purché si lavori con integrali eventualmente infiniti.

Cambiamento di variabili in due dimensioni

Sia

\displaystyle T(u,v)=(x(u,v),y(u,v)).

Il Jacobiano è

\displaystyle J_T(u,v)= \det \begin{pmatrix} x_u & x_v\\ y_u & y_v \end{pmatrix}.

Allora

\displaystyle \iint_D f(x,y)\,dx\,dy = \iint_E f(T(u,v))\,|J_T(u,v)|\,du\,dv.

Coordinate polari:

\displaystyle x=\rho\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\theta,

\displaystyle |J|=\rho, \qquad dx\,dy=\rho\,d\rho\,d\theta.

Procedura per un cambio di variabili:

disegna o descrivi il dominio;
scegli coordinate coerenti con simmetrie e bordi;
trasforma il dominio;
calcola il Jacobiano;
sostituisci funzione e differenziale;
integra nei nuovi limiti.

Area, massa, baricentro

Area:

\displaystyle A(D)=\iint_D 1\,dA.

Massa con densità $\rho(x,y)$ :

\displaystyle m=\iint_D \rho(x,y)\,dA.

Baricentro:

\displaystyle \bar{x}=\dfrac{1}{m}\iint_D x\,\rho(x,y)\,dA, \qquad \bar{y}=\dfrac{1}{m}\iint_D y\,\rho(x,y)\,dA.

Se la densità è costante:

\displaystyle \bar{x}=\dfrac{1}{A(D)}\iint_D x\,dA, \qquad \bar{y}=\dfrac{1}{A(D)}\iint_D y\,dA.

Momenti di inerzia

Momento rispetto all’asse $x$ :

\displaystyle I_x=\iint_D y^2\rho(x,y)\,dA.

Momento rispetto all’asse $y$ :

\displaystyle I_y=\iint_D x^2\rho(x,y)\,dA.

Momento polare rispetto all’origine:

\displaystyle I_O=\iint_D (x^2+y^2)\rho(x,y)\,dA =I_x+I_y.

Prodotto di inerzia:

\displaystyle I_{xy}=\iint_D xy\,\rho(x,y)\,dA.

Commento operativo: se il dominio e la densità sono simmetrici e l’integrando è dispari rispetto a un asse di simmetria, l’integrale è zero.

10. Integrali tripli

Dominio normale nello spazio

L’integrale triplo è

\displaystyle \iiint_\Omega f(x,y,z)\,dV.

\displaystyle \Omega=\{(x,y,z):(x,y)\in D,\ \alpha(x,y)\le z\le \beta(x,y)\},

allora

\displaystyle \iiint_\Omega f\,dV = \iint_D \int_{\alpha(x,y)}^{\beta(x,y)} f(x,y,z)\,dz\,dA.

Volume:

\displaystyle V(\Omega)=\iiint_\Omega 1\,dV.

Massa:

\displaystyle m=\iiint_\Omega \rho(x,y,z)\,dV.

Baricentro:

\displaystyle \bar{x}=\dfrac{1}{m}\iiint_\Omega x\rho\,dV, \qquad \bar{y}=\dfrac{1}{m}\iiint_\Omega y\rho\,dV, \qquad \bar{z}=\dfrac{1}{m}\iiint_\Omega z\rho\,dV.

Coordinate cilindriche

Coordinate:

\displaystyle x=\rho\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\theta,\qquad z=z.

Jacobiano:

\displaystyle dV=\rho\,d\rho\,d\theta\,dz.

Sono adatte a cilindri, coni, solidi di rotazione attorno all’asse $z$ e domini con simmetria radiale nel piano $xy$ .

Coordinate sferiche

Una convenzione frequente è

\displaystyle x=r\sin\varphi\cos\theta, \qquad y=r\sin\varphi\sin\theta, \qquad z=r\cos\varphi,

con

\displaystyle r\ge0,\qquad 0\le\varphi\le\pi,\qquad 0\le\theta<2\pi.

Jacobiano:

\displaystyle dV=r^2\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.

Sono adatte a sfere, calotte, coni con vertice nell’origine e domini radiali.

Cambiamento di variabili in $\mathbb{R}^3$

Per

\displaystyle T(u,v,w)=(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)),

si ha

\displaystyle \iiint_\Omega f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz = \iiint_E f(T(u,v,w))\,|\det J_T|\,du\,dv\,dw.

11. Superfici

Superfici parametriche

Una superficie parametrica è

\displaystyle \sigma:D\subset\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3, \qquad \sigma(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)).

I vettori tangenti sono

\displaystyle \sigma_u,\qquad \sigma_v.

La superficie è regolare se

\displaystyle \sigma_u\times\sigma_v\ne0.

Un vettore normale è

\displaystyle n=\sigma_u\times\sigma_v.

Il versore normale è

\displaystyle \nu=\dfrac{\sigma_u\times\sigma_v}{\|\sigma_u\times\sigma_v\|}.

L’elemento di superficie è

\displaystyle dS=\|\sigma_u\times\sigma_v\|\,du\,dv.

Superficie grafico

\displaystyle z=f(x,y),

una parametrizzazione naturale è

\displaystyle \sigma(x,y)=(x,y,f(x,y)).

Allora

\displaystyle \sigma_x\times\sigma_y=(-f_x,-f_y,1),

\displaystyle dS=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dx\,dy.

Integrali superficiali di prima specie

Per un campo scalare $g$ :

\displaystyle \iint_S g\,dS = \iint_D g(\sigma(u,v)) \|\sigma_u\times\sigma_v\|\,du\,dv.

Area della superficie:

\displaystyle A(S)=\iint_S 1\,dS.

Flusso, integrale superficiale di seconda specie

Per un campo vettoriale $F$ :

\displaystyle \iint_S F\cdot\nu\,dS.

Usando una parametrizzazione orientata:

\displaystyle \iint_S F\cdot\nu\,dS = \iint_D F(\sigma(u,v))\cdot (\sigma_u\times\sigma_v)\,du\,dv.

Invertire l’orientazione cambia il segno del flusso.

Per una superficie chiusa si usa spesso la normale uscente.

12. Teoremi del calcolo vettoriale

Teorema di Green

Sia $D\subset\mathbb{R}^2$ un dominio regolare, orientato positivamente, e sia $\partial D$ il bordo percorso in senso antiorario. Se $P,Q$ sono di classe $C^1$ , allora

\displaystyle \oint_{\partial D} P\,dx+Q\,dy = \iint_D \left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right)dA.

Formula per l’area:

\displaystyle A(D)= \oint_{\partial D} x\,dy = -\oint_{\partial D} y\,dx = \dfrac{1}{2}\oint_{\partial D}(x\,dy-y\,dx).

Commento operativo: Green trasforma un integrale lungo un bordo in un integrale sull’area interna. È spesso vantaggioso quando il bordo è complicato ma il dominio è semplice, o viceversa.

Teorema di Stokes

Sia $S$ una superficie orientata con bordo $\partial S$ . Allora

\displaystyle \oint_{\partial S} F\cdot dr = \iint_S (\operatorname{rot}F)\cdot\nu\,dS.

L’orientazione del bordo e della normale è legata dalla regola della mano destra.

Commento operativo: Stokes dice che la circuitazione sul bordo misura il flusso del rotore attraverso la superficie. Puoi scegliere qualunque superficie con lo stesso bordo, purché l’orientazione sia coerente e il campo sia regolare nella regione considerata.

Teorema di Gauss-Ostrogradskij

Sia $\Omega\subset\mathbb{R}^3$ un solido regolare con bordo chiuso $\partial\Omega$ orientato con normale uscente. Allora

\displaystyle \iint_{\partial\Omega} F\cdot\nu\,dS = \iiint_\Omega \operatorname{div}F\,dV.

Commento operativo: Gauss trasforma un flusso attraverso una superficie chiusa in un integrale di volume. È particolarmente efficace quando la divergenza è semplice o quando il flusso diretto richiederebbe molte parametrizzazioni.

Relazione concettuale tra Green, Stokes e Gauss

Green è la versione piana della relazione tra bordo e interno:

\displaystyle \text{circuitazione sul bordo} = \text{rotazione accumulata nell'area}.

Stokes generalizza questa idea alle superfici nello spazio:

\displaystyle \text{circuitazione sul bordo} = \text{flusso del rotore attraverso la superficie}.

Gauss riguarda invece il flusso uscente:

\displaystyle \text{flusso attraverso il bordo chiuso} = \text{sorgenti interne totali}.

13. Procedure operative da esame

Limite in due variabili

calcola il valore lungo assi e rette;
se trovi risultati diversi, il limite non esiste;
se le rette non bastano, prova parabole o curve del tipo $y=kx^\alpha$ ;
se sospetti che il limite esista, usa stime con $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$ ;
in polari, controlla che la parte angolare sia limitata uniformemente.

Differenziabilità in un punto

verifica la continuità;
calcola le derivate parziali;
se le derivate parziali sono continue in un intorno, concludi;
se non sono continue, usa la definizione:

\displaystyle \dfrac{ f(x_0+h)-f(x_0)-\nabla f(x_0)\cdot h }{\|h\|} \to0.

Estremi assoluti su dominio chiuso e limitato

applica Weierstrass per garantire esistenza;
studia i punti critici interni;
studia ogni tratto di bordo;
includi vertici, cuspidi e punti non regolari;
valuta la funzione su tutti i candidati.

Lagrange

scrivi vincoli e funzione obiettivo;
verifica regolarità dei vincoli;
imposta $\nabla f=\sum\lambda_i\nabla g_i$ ;
risolvi il sistema con i vincoli;
valuta $f$ sui candidati;
se il vincolo è compatto, confronta per ottenere estremi assoluti.

Integrale doppio

disegna il dominio;
decidi se è normale rispetto a $x$ o rispetto a $y$ ;
se necessario, spezza il dominio;
valuta se un cambio di variabili semplifica bordi o integrando;
controlla sempre il Jacobiano.

Integrale triplo

identifica il solido;
proietta sul piano più comodo;
scegli coordinate cartesiane, cilindriche o sferiche;
stabilisci i limiti nell’ordine scelto;
inserisci il Jacobiano se cambi coordinate.

Integrale di linea

Prima specie:

\displaystyle \int_\gamma f\,ds

usa $\|\gamma'(t)\|$ ed è indipendente dal verso.

Seconda specie:

\displaystyle \int_\gamma F\cdot dr

usa $\gamma'(t)$ e cambia segno invertendo il verso.

Flusso attraverso una superficie

se la superficie è aperta, parametrizza e scegli l’orientazione;
se la superficie è chiusa, considera Gauss;
se manca un pezzo per chiuderla, aggiungi il pezzo, usa Gauss e sottrai il flusso aggiunto;
verifica il verso della normale.

14. Tavola sintetica dei differenziali geometrici

Linea:

\displaystyle ds=\|\gamma'(t)\|\,dt.

Area piana in polari:

\displaystyle dA=\rho\,d\rho\,d\theta.

Volume in cilindriche:

\displaystyle dV=\rho\,d\rho\,d\theta\,dz.

Volume in sferiche:

\displaystyle dV=r^2\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.

Area di superficie parametrica:

\displaystyle dS=\|\sigma_u\times\sigma_v\|\,du\,dv.

Area di grafico $z=f(x,y)$ :

\displaystyle dS=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dx\,dy.

15. Programma migliorato finale

Il programma di Analisi II per ingegneria, nella versione più completa e ordinata, può essere strutturato così:

topologia di $\mathbb{R}^n$ : norme, distanze, aperti, chiusi, frontiera, compatti, connessi, convessi, successioni;
limiti e continuità: definizione epsilon-delta, criteri per non esistenza, polari, continuità uniforme, Weierstrass;
calcolo differenziale: derivate parziali, direzionali, gradiente, differenziabilità, piano tangente, Jacobiana, catena;
secondo ordine: Hessiana, Schwarz, Taylor, forme quadratiche;
ottimizzazione: estremi locali, assoluti, bordo, Lagrange con più vincoli, Dini, funzione inversa;
curve: lunghezza, ascissa curvilinea, Frenet, curvatura, torsione, integrali di linea;
campi vettoriali: gradiente, divergenza, rotore, laplaciano, potenziali, conservatività, forme differenziali;
integrazione multipla: Fubini, domini normali, cambi di variabili, coordinate polari, cilindriche, sferiche, grandezze geometriche e fisiche;
superfici: parametrizzazione, normale, area, flusso;
teoremi integrali: Green, Stokes, Gauss-Ostrogradskij, orientazione e applicazioni.

Questa struttura evita sovrapposizioni e mette in evidenza il filo logico del corso: dalla geometria locale di funzioni e domini alla misura globale di curve, superfici e volumi, fino alle identità che collegano bordo e interno.

Formulario di Analisi Matematica II

1. Geometria di base in \mathbb{R}^n

Vettori, prodotto scalare e norma euclidea

Norme equivalenti

Intorni, palle e sfere

Aperti, chiusi, frontiera

Successioni in \mathbb{R}^n

Compatti, connessi e convessi

2. Limiti e continuità in più variabili

Definizione epsilon-delta

Criterio per negare un limite

Coordinate polari per limiti in \mathbb{R}^2

Stime con la norma

Teoremi globali sulle funzioni continue

3. Calcolo differenziale in più variabili

Derivate parziali

Gradiente e derivata direzionale

Differenziabilità

Differenziale totale

Piano tangente e normale

Regola della catena

4. Derivate seconde, Hessiana e Taylor

Derivate seconde e teorema di Schwarz

Matrice Hessiana

Formula di Taylor al secondo ordine

5. Ottimizzazione libera

Punti critici

Classificazione in due variabili

Classificazione in \mathbb{R}^n

Massimi e minimi assoluti

6. Ottimizzazione vincolata, Dini e funzione inversa

Moltiplicatori di Lagrange con un vincolo

Moltiplicatori con m vincoli

Funzioni implicite, teorema di Dini

Teorema della funzione inversa

7. Curve in \mathbb{R}^n

Curve parametriche

Lunghezza d’arco

Vettore tangente, normale, binormale

Curvatura con parametro generico

Integrali di linea di prima specie

Integrali di linea di seconda specie

8. Campi vettoriali e forme differenziali

Operatori differenziali

Identità vettoriali fondamentali

Campi conservativi

Forme differenziali

9. Integrali doppi

Integrale doppio e dominio normale

Fubini-Tonelli

Cambiamento di variabili in due dimensioni

Area, massa, baricentro

Momenti di inerzia

10. Integrali tripli

Dominio normale nello spazio

Coordinate cilindriche

Coordinate sferiche

Cambiamento di variabili in \mathbb{R}^3

11. Superfici

Superfici parametriche

Superficie grafico

Integrali superficiali di prima specie

Flusso, integrale superficiale di seconda specie

12. Teoremi del calcolo vettoriale

Teorema di Green

Teorema di Stokes

Teorema di Gauss-Ostrogradskij

Relazione concettuale tra Green, Stokes e Gauss

13. Procedure operative da esame

Limite in due variabili

Differenziabilità in un punto

Estremi assoluti su dominio chiuso e limitato

Lagrange

Integrale doppio

Integrale triplo

Integrale di linea

Flusso attraverso una superficie

14. Tavola sintetica dei differenziali geometrici

15. Programma migliorato finale

1. Geometria di base in $\mathbb{R}^n$

Successioni in $\mathbb{R}^n$

Coordinate polari per limiti in $\mathbb{R}^2$

Classificazione in $\mathbb{R}^n$

Moltiplicatori con $m$ vincoli

7. Curve in $\mathbb{R}^n$

Cambiamento di variabili in $\mathbb{R}^3$