Il metodo di Eulero è il più semplice metodo numerico a un passo per approssimare la soluzione di un problema di Cauchy per equazioni differenziali ordinarie. Dato:
con condizione iniziale:
il metodo di Eulero esplicito costruisce una successione di valori approssimati usando:
Il passo temporale è h=t_{n+1}-t_n. Geometricamente il metodo segue la tangente alla curva soluzione nel punto iniziale del passo e la usa come approssimazione lineare della soluzione.
Interpretazione e ordine
L’errore di troncamento locale è dell’ordine di h^2, mentre l’errore globale è dell’ordine di h:
Per questo si dice che il metodo è di primo ordine: dimezzare il passo riduce l’errore globale approssimativamente di un fattore due, se il problema è regolare e gli errori di arrotondamento non dominano.
Il metodo è utile per introdurre l’integrazione numerica, per stime rapide e per simulazioni semplici, ma raramente è la scelta migliore in produzione quando servono accuratezza e stabilità.
Stabilità
Il limite principale del metodo esplicito è la stabilità. Sul problema test:
si ottiene:
La soluzione numerica resta stabile solo se:
Se \lambda è reale negativo, questo richiede:
Nei problemi stiff, cioè con scale temporali molto diverse, questa restrizione può imporre passi molto piccoli anche quando la soluzione macroscopica cambia lentamente.
Variante implicita
La variante implicita è:
più costosa perché richiede la soluzione di un’equazione, spesso non lineare, a ogni passo. È però molto più stabile per problemi dissipativi e stiff. Per il problema test ha fattore di amplificazione:
che resta ben controllato per molti valori di \lambda con parte reale negativa.
Errori comuni
Un errore frequente è aumentare il passo solo perché la soluzione sembra liscia. Stabilità e accuratezza sono requisiti distinti: un passo può produrre una soluzione stabile ma poco accurata, oppure accurata localmente ma instabile su intervalli lunghi.
Un altro errore è confondere il metodo di Eulero con metodi di ordine superiore come Runge-Kutta. Eulero usa solo la pendenza all’inizio del passo; metodi più avanzati campionano pendenze intermedie o correggono la previsione.
Vedi anche: Equazione differenziale ordinaria, Errore di troncamento, Metodo di Runge-Kutta, Metodo di Newton.