Errore di troncamento — ingegnerismo.it

L’errore di troncamento nasce quando si sostituisce un processo continuo o infinito con uno finito: una serie tagliata, una derivata approssimata, un integrale discretizzato.

È un errore di modello numerico, non di rappresentazione: anche usando aritmetica esatta, una formula discretizzata conserva un residuo perché ha scartato termini di ordine superiore, sottointervalli, contributi infinitesimi o passi successivi.

Origine analitica

Il modo più comune per stimarlo è partire dalla formula di Taylor. Per esempio, la differenza in avanti

\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}

approssima $f'(x)$ . Sviluppando $f(x+h)$ si ottiene

f(x+h)=f(x)+h f'(x)+\dfrac{h^2}{2}f''(\xi), \qquad \xi\in(x,x+h),

e quindi

\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} =f'(x)+\dfrac{h}{2}f''(\xi).

Il termine $\dfrac{h}{2}f''(\xi)$ è l’errore di troncamento locale della formula. Se $f''$ è limitata, l’errore è dell’ordine di $h$ :

E_T=O(h).

Ordine di accuratezza

Una formula numerica è di ordine $p$ quando il suo errore di troncamento principale scala come

E_T(h)=C h^p+O(h^{p+1}),

dove $C$ dipende dalla funzione e dalle sue derivate, ma non dal passo $h$ . In pratica, dimezzare $h$ riduce l’errore dominante di circa $2^p$ volte, finché l’errore di arrotondamento resta trascurabile.

Contesto	Approssimazione	Errore di troncamento tipico
Differenze finite	derivata prima in avanti	$O(h)$
Differenze finite	derivata prima centrata	$O(h^2)$
Integrazione numerica	trapezi composita	$O(h^2)$
Integrazione numerica	Simpson composita	$O(h^4)$
Metodo di Eulero	passo esplicito per EDO	locale $O(h^2)$ , globale $O(h)$

Errore locale e globale nelle EDO

Nei metodi numerici per EDO, l’errore locale di troncamento misura l’errore commesso in un singolo passo assumendo esatto il valore iniziale del passo. Per un metodo a un passo

y_{n+1}=y_n+h\Phi(t_n,y_n,h),

l’errore locale può essere scritto come

\tau_{n+1} = \dfrac{y(t_{n+1})-y(t_n)}{h} -\Phi(t_n,y(t_n),h).

L’errore globale confronta invece il valore numerico $y_n$ con la soluzione esatta $y(t_n)$ dopo molti passi:

e_n=y(t_n)-y_n.

Un piccolo errore locale non basta da solo: serve anche stabilità, altrimenti gli errori di passo possono amplificarsi lungo l’integrazione.

Troncamento e arrotondamento

Ridurre il passo $h$ diminuisce di norma l’errore di troncamento, ma aumenta il numero di operazioni e può amplificare gli errori di arrotondamento. Nella derivazione numerica, per esempio, un modello qualitativo dell’errore totale è

E(h)\approx C_1 h^p + C_2\dfrac{\varepsilon_M}{h},

dove $\varepsilon_M$ è la precisione di macchina. Il primo termine diminuisce con $h$ , il secondo cresce quando $h$ diventa troppo piccolo. Per questo il passo ottimale non è necessariamente il più piccolo possibile.

Errori comuni

Confondere troncamento e arrotondamento: il primo nasce dalla discretizzazione, il secondo dalla rappresentazione finita dei numeri.
Guardare solo l’ordine $p$ ignorando la costante $C$ : una formula di ordine alto può essere peggiore su passi grossolani se la costante è grande.
Ridurre il passo senza verificare stabilità e condizionamento.
Usare formule di errore derivate per funzioni regolari quando la funzione ha discontinuità, spigoli o derivate non limitate.