Metodo di Runge-Kutta

I metodi di Runge-Kutta sono una famiglia di algoritmi iterativi fondamentali nel calcolo numerico, utilizzati per approssimare la soluzione di problemi ai valori iniziali per equazioni differenziali ordinarie (ODE). Furono sviluppati intorno al 1900 dai matematici tedeschi Carl Runge e Martin Wilhelm Kutta.

Il metodo più celebre e utilizzato in ingegneria è il Runge-Kutta del quarto ordine (RK4). Data un’equazione differenziale $y' = f(t, y)$ con condizione iniziale $y(t_0) = y_0$, il metodo calcola il valore successivo $y_{n+1}$ effettuando una media pesata di quattro stime della pendenza calcolate in diversi punti dell’intervallo temporale $\Delta t$:

$$y_{n+1} = y_n + \frac{\Delta t}{6} (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)$$

L’estrema popolarità del metodo RK4 deriva dal fatto che garantisce un errore di troncamento locale dell’ordine di $O(\Delta t^5)$ e un errore globale di $O(\Delta t^4)$, offrendo un eccezionale equilibrio tra semplicità di implementazione e accuratezza della soluzione.

È lo strumento principe per la simulazione dinamica di sistemi fisici complessi, dal moto dei pianeti alla traiettoria di un velivolo, fino alla risposta di una struttura soggetta a un terremoto, dove le soluzioni analitiche esatte sono impossibili da ottenere.