Il metodo di Newton (o metodo di Newton-Raphson) è uno degli algoritmi più potenti e utilizzati per trovare numericamente le radici di un’equazione del tipo f(x) = 0.
Algoritmo
Data una stima iniziale x_0, il metodo genera una successione di valori x_{k+1} tramite la formula ricorsiva: x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} Geometricamente, x_{k+1} è il punto in cui la retta tangente al grafico di f nel punto x_k interseca l’asse delle ascisse.
Caratteristiche
- Convergenza: Se il punto iniziale è sufficientemente vicino alla radice, la convergenza è quadratica (il numero di cifre decimali corrette raddoppia a ogni passo).
- Limiti: Il metodo può fallire se f'(x_k) \approx 0 o se l’iterazione entra in un ciclo infinito.
Significato Ingegneristico
- Risoluzione di Equazioni Non Lineari: Usato in ogni software di simulazione per risolvere sistemi di equazioni fisiche che non ammettono soluzioni analitiche (es. equazioni di stato dei gas reali).
- Ottimizzazione: Il metodo di Newton viene applicato alla derivata di una funzione (f'=0) per trovare massimi e minimi in modo estremamente rapido.
- Robotica e Meccanica: Risoluzione della cinematica inversa e dei problemi di equilibrio statico in strutture con grandi deformazioni.