Metodo di Newton

Il metodo di Newton (o metodo di Newton-Raphson) è uno degli algoritmi più potenti e utilizzati per trovare numericamente le radici di un’equazione del tipo $f(x) = 0$.

Algoritmo

Data una stima iniziale $x_0$, il metodo genera una successione di valori $x_{k+1}$ tramite la formula ricorsiva: $x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$ Geometricamente, $x_{k+1}$ è il punto in cui la retta tangente al grafico di $f$ nel punto $x_k$ interseca l’asse delle ascisse.

Caratteristiche

• Convergenza: Se il punto iniziale è sufficientemente vicino alla radice, la convergenza è quadratica (il numero di cifre decimali corrette raddoppia a ogni passo).
• Limiti: Il metodo può fallire se $f'(x_k) \approx 0$ o se l’iterazione entra in un ciclo infinito.

Significato Ingegneristico

• Risoluzione di Equazioni Non Lineari: Usato in ogni software di simulazione per risolvere sistemi di equazioni fisiche che non ammettono soluzioni analitiche (es. equazioni di stato dei gas reali).
• Ottimizzazione: Il metodo di Newton viene applicato alla derivata di una funzione ($f'=0$) per trovare massimi e minimi in modo estremamente rapido.
• Robotica e Meccanica: Risoluzione della cinematica inversa e dei problemi di equilibrio statico in strutture con grandi deformazioni.