Le trasformazioni di Lorentz sono le relazioni che collegano le coordinate spazio-temporali di uno stesso evento misurate da due riferimenti inerziali in moto relativo uniforme. Sostituiscono le trasformazioni galileiane quando la velocità relativa non è trascurabile rispetto alla velocità della luce.
Per un riferimento S' che si muove con velocità v lungo l’asse x rispetto a S, le trasformazioni dirette sono:
Il fattore di Lorentz è:
Trasformazioni inverse
Le trasformazioni inverse si ottengono cambiando il segno della velocità:
Questa simmetria esprime il principio di relatività: nessuno dei due riferimenti inerziali è privilegiato. Ciascun osservatore può considerare l’altro in moto con velocità opposta.
Intervallo invariante
La proprietà centrale delle trasformazioni di Lorentz è la conservazione dell’intervallo spazio-temporale:
Per questo la relatività ristretta non dice che “tutto è relativo”. Alcune grandezze cambiano con il riferimento, come tempo e distanza; altre combinazioni, come l’intervallo, restano uguali per tutti gli osservatori inerziali.
Conseguenze fisiche
| Conseguenza | Origine nelle trasformazioni |
|---|---|
| dilatazione dei tempi | eventi nello stesso punto in S' hanno intervallo temporale maggiore in S |
| contrazione delle lunghezze | misurare una lunghezza richiede simultaneità nel riferimento dell’osservatore |
| relatività della simultaneità | t' dipende sia da t sia da x |
| composizione relativistica delle velocità | deriva dal rapporto tra dx' e dt' |
| invarianza di c | una traiettoria luminosa resta tale in ogni riferimento |
La simultaneità relativa è spesso l’aspetto meno intuitivo. Due eventi con \Delta t=0 ma separati nello spazio hanno, in generale:
Quindi eventi simultanei in S non sono necessariamente simultanei in S'.
Campi elettromagnetici
Le trasformazioni di Lorentz non agiscono solo sulle coordinate. Anche i campi fisici devono trasformarsi in modo coerente. In elettromagnetismo, campo elettrico e campo magnetico sono componenti di un’unica struttura relativistica: il campo elettromagnetico. Cambiando riferimento, una parte elettrica può generare una componente magnetica e viceversa.
Per un boost lungo x, un esempio di trasformazione delle componenti trasversali è:
Questa è la ragione per cui magnetismo e relatività sono concettualmente legati: la separazione tra elettrico e magnetico dipende dal riferimento, mentre le equazioni di Maxwell mantengono la loro forma.
Limite classico
Quando v\ll c, il fattore \gamma tende a 1 e il termine vx/c^2 diventa trascurabile. Le trasformazioni di Lorentz si riducono allora, in ottima approssimazione, alle trasformazioni galileiane:
Il limite classico non è quindi una teoria separata incompatibile: è l’approssimazione a bassa velocità della teoria relativistica.
Vedi anche: Relatività ristretta, Equazioni di Maxwell, Forza di Lorentz, esercizi sulle trasformazioni di Lorentz.