Trasformazioni di Lorentz e composizione delle velocità: esercizi svolti

Le trasformazioni di Lorentz legano le coordinate di un evento tra due riferimenti inerziali in moto relativo con velocità $V$ lungo $x$ :

$x'=\gamma(x-Vt),\qquad t'=\gamma\!\left(t-\dfrac{Vx}{c^2}\right),\qquad \gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-V^2/c^2}}.$

Da esse discende la composizione relativistica delle velocità: un oggetto con velocità $u$ in un riferimento ha velocità $u'$ nell’altro secondo

$u'=\dfrac{u-V}{1-uV/c^2}.$

A differenza della somma galileiana, nessuna composizione di velocità inferiori a $c$ supera mai $c$ .

1. Trasformazione di una coordinata spaziale

Esercizio. Un evento avviene in $x=600\ \text{m}$ , $t=2{,}0\ \mu\text{s}$ nel laboratorio. Quale coordinata $x'$ in un riferimento a $V=0{,}60c$ ( $\gamma=1{,}25$ )?

$x'=\gamma(x-Vt)=1{,}25\,(600-0{,}60\times3{,}0\times10^8\times2{,}0\times10^{-6}).$

$x'=1{,}25\,(600-360)=1{,}25\times240=300\ \text{m}.$

2. Trasformazione del tempo

Esercizio. Per lo stesso evento ( $x=600\ \text{m}$ , $t=2{,}0\ \mu\text{s}$ , $V=0{,}60c$ , $\gamma=1{,}25$ ), quale tempo $t'$ ?

\begin{aligned} t' &=\gamma\!\left(t-\dfrac{Vx}{c^2}\right)\\ &=1{,}25\!\left(2{,}0\times10^{-6} -\dfrac{0{,}60\times3{,}0\times10^8\times600}{(3{,}0\times10^8)^2}\right)\\ &=1{,}25(2{,}0\times10^{-6}-1{,}2\times10^{-6})\\ &=1{,}25\times0{,}80\times10^{-6}\\ &=1{,}0\times10^{-6}\ \text{s} =1{,}0\ \mu\text{s}. \end{aligned}

3. Relatività della simultaneità

Esercizio. Due eventi sono simultanei nel laboratorio ( $t_1=t_2$ ) ma separati da $\Delta x=300\ \text{m}$ . Sono simultanei in un riferimento a $V=0{,}80c$ ?

La differenza di tempo trasformata è $\Delta t'=\gamma(\Delta t-V\Delta x/c^2)$ , con $\gamma=1{,}67$ e $\Delta t=0$ :

\begin{aligned} \Delta t' &=-\gamma\dfrac{V\Delta x}{c^2}\\ &=-1{,}67\times\dfrac{0{,}80\times3{,}0\times10^8\times300}{(3{,}0\times10^8)^2}\\ &=-1{,}67\times8{,}0\times10^{-7}\\ &=-1{,}34\times10^{-6}\ \text{s}. \end{aligned}

$\Delta t'\ne0$ : eventi simultanei in un riferimento non lo sono in un altro. La simultaneità è relativa.

4. Composizione velocità — stessa direzione

Esercizio. Un’astronave a $V=0{,}60c$ rispetto alla Terra spara un proiettile a $u'=0{,}50c$ rispetto alla nave (stessa direzione). Quale velocità del proiettile vista da Terra?

Composizione (forma diretta $u=\dfrac{u'+V}{1+u'V/c^2}$ ):

$u=\dfrac{0{,}50c+0{,}60c}{1+0{,}50\times0{,}60}=\dfrac{1{,}10c}{1{,}30}=0{,}846c.$

La somma galileiana darebbe $1{,}10c$ (impossibile); quella relativistica resta sotto $c$ .

5. Composizione velocità — versi opposti

Esercizio. La stessa nave ( $V=0{,}60c$ ) spara il proiettile all’indietro a $u'=-0{,}50c$ . Quale velocità da Terra?

$u=\dfrac{-0{,}50c+0{,}60c}{1+(-0{,}50)\times0{,}60}=\dfrac{0{,}10c}{1-0{,}30}=\dfrac{0{,}10c}{0{,}70}=0{,}143c.$

6. Limite della luce

Esercizio. Una nave a $V=0{,}90c$ accende un faro che emette luce a $c$ in avanti. Quale velocità della luce vista da Terra?

$u=\dfrac{c+0{,}90c}{1+c\times0{,}90c/c^2}=\dfrac{1{,}90c}{1+0{,}90}=\dfrac{1{,}90c}{1{,}90}=c.$

La luce viaggia a $c$ in ogni riferimento: è il postulato fondamentale, qui verificato dalla composizione.

7. Composizione di due velocità elevate

Esercizio. Due astronavi si avvicinano frontalmente, ciascuna a $0{,}80c$ rispetto alla Terra. Quale velocità relativa di una rispetto all’altra?

Nel riferimento di una nave, l’altra ha velocità composta (versi che si sommano):

$u=\dfrac{0{,}80c+0{,}80c}{1+0{,}80\times0{,}80}=\dfrac{1{,}60c}{1{,}64}=0{,}976c.$

Non $1{,}60c$ : la velocità relativa resta inferiore a $c$ .

8. Velocità richiesta nel riferimento mobile

Esercizio. Da Terra un oggetto si muove a $u=0{,}90c$ ; una nave viaggia nello stesso verso a $V=0{,}50c$ . Quale velocità dell’oggetto vista dalla nave?

$u'=\dfrac{u-V}{1-uV/c^2}=\dfrac{0{,}90c-0{,}50c}{1-0{,}90\times0{,}50}=\dfrac{0{,}40c}{0{,}55}=0{,}727c.$

9. Invariante dell’intervallo spazio-temporale

Esercizio. Due eventi distano $\Delta x=500\ \text{m}$ e $\Delta t=1{,}0\ \mu\text{s}$ nel laboratorio. Calcolare l’intervallo invariante $s^2=(c\Delta t)^2-(\Delta x)^2$ e dire se la separazione è di tipo tempo o spazio.

Passo 1 — termini. $c\Delta t=3{,}0\times10^8\times1{,}0\times10^{-6}=300\ \text{m}$ ; $\Delta x=500\ \text{m}$ .

Passo 2 — invariante.

$s^2=(300)^2-(500)^2=9{,}0\times10^4-2{,}5\times10^5=-1{,}6\times10^5\ \text{m}^2.$

$s^2<0$ : separazione di tipo spazio (gli eventi non possono essere collegati causalmente; esiste un riferimento in cui sono simultanei). L’intervallo $s^2$ ha lo stesso valore in tutti i riferimenti inerziali.

10. Ordine temporale e causalità

Esercizio. Per due eventi con $\Delta x=300\ \text{m}$ e $\Delta t=2{,}0\ \mu\text{s}$ (laboratorio), verificare se l’ordine temporale può invertirsi in qualche riferimento.

Passo 1 — confronto.

\begin{aligned} c\Delta t &=3{,}0\times10^8\times2{,}0\times10^{-6}\\ &=600\ \text{m} >\Delta x=300\ \text{m}. \end{aligned}

Passo 2 — interpretazione. Poiché $c\Delta t>\Delta x$ , la separazione è di tipo tempo ( $s^2>0$ ): gli eventi possono essere causalmente connessi e il loro ordine temporale è lo stesso in tutti i riferimenti. Nessuna inversione possibile (la causalità è preservata).

11. Trasformazione inversa di Lorentz

Esercizio. In un riferimento $S'$ un evento ha coordinate $x'=300\ \text{m}$ e $t'=1{,}0\ \mu\text{s}$ . Il riferimento $S'$ si muove a $V=0{,}60c$ rispetto a $S$ ( $\gamma=1{,}25$ ). Trovare $x$ e $t$ in $S$ .

La trasformazione inversa si ottiene cambiando il segno di $V$ :

x=\gamma(x'+Vt'),\qquad t=\gamma\left(t'+\dfrac{Vx'}{c^2}\right).

Calcolo della coordinata spaziale:

x=1{,}25\left(300+0{,}60\times3{,}0\times10^8\times1{,}0\times10^{-6}\right) =1{,}25(300+180)=600\ \text{m}.

Calcolo del tempo:

\begin{aligned} t &=1{,}25\left(1{,}0\times10^{-6} +\dfrac{0{,}60\times3{,}0\times10^8\times300}{(3{,}0\times10^8)^2}\right)\\ &=1{,}25(1{,}0\times10^{-6}+0{,}60\times10^{-6})\\ &=2{,}0\times10^{-6}\ \text{s}. \end{aligned}

Si recuperano le coordinate dell’esercizio iniziale: la trasformazione inversa è un controllo utile contro errori di segno.

12. Tempo proprio da un intervallo di tipo tempo

Esercizio. Due eventi avvengono nello stesso punto di una particella. Nel laboratorio hanno $\Delta t=5{,}0\ \mu\text{s}$ e $\Delta x=900\ \text{m}$ . Calcolare il tempo proprio $\Delta \tau$ tra gli eventi.

Per separazione di tipo tempo:

(c\Delta\tau)^2=(c\Delta t)^2-(\Delta x)^2.

Calcoliamo:

c\Delta t=3{,}0\times10^8\times5{,}0\times10^{-6}=1500\ \text{m}.

c\Delta\tau=\sqrt{1500^2-900^2} =\sqrt{2{,}25\times10^6-8{,}10\times10^5} =\sqrt{1{,}44\times10^6} =1200\ \text{m}.

Quindi:

\Delta\tau=\dfrac{1200}{3{,}0\times10^8} =4{,}0\times10^{-6}\ \text{s} =4{,}0\ \mu\text{s}.

Il tempo proprio è il tempo misurato nel riferimento in cui i due eventi avvengono nello stesso punto. È minore del tempo coordinato del laboratorio, coerentemente con la dilatazione dei tempi.

13. Composizione della componente trasversale

Esercizio. Nel laboratorio una particella ha componenti $u_x=0{,}60c$ e $u_y=0{,}30c$ . Un osservatore $S'$ si muove lungo $x$ con $V=0{,}40c$ rispetto al laboratorio. Calcolare $u'_x$ e $u'_y$ .

Le trasformazioni delle componenti sono:

u'_x=\dfrac{u_x-V}{1-u_xV/c^2}, \qquad u'_y=\dfrac{u_y}{\gamma_V(1-u_xV/c^2)}.

Con $V=0{,}40c$ :

\gamma_V=\dfrac{1}{\sqrt{1-0{,}40^2}}=1{,}091, \qquad 1-\dfrac{u_xV}{c^2}=1-0{,}60\times0{,}40=0{,}76.

Componente longitudinale:

u'_x=\dfrac{0{,}60c-0{,}40c}{0{,}76}=0{,}263c.

Componente trasversale:

u'_y=\dfrac{0{,}30c}{1{,}091\times0{,}76}=0{,}362c.

La componente trasversale non resta invariata: cambia per effetto della trasformazione del tempo. Questo è un punto in cui la composizione relativistica differisce profondamente dalla cinematica galileiana.

Sintesi

Concetto	Formula
Lorentz (spazio)	$x'=\gamma(x-Vt)$
Lorentz (tempo)	$t'=\gamma(t-Vx/c^2)$
Lorentz inversa	$x=\gamma(x'+Vt')$ , $t=\gamma(t'+Vx'/c^2)$
Composizione velocità	$u'=(u-V)/(1-uV/c^2)$
Componente trasversale	$u'_y=u_y/[\gamma_V(1-u_xV/c^2)]$
Invariante intervallo	$s^2=(c\Delta t)^2-(\Delta x)^2$
Tipo tempo / spazio	$s^2>0$ / $s^2<0$
Tempo proprio	$(c\Delta\tau)^2=(c\Delta t)^2-(\Delta x)^2$

Errori da evitare:

usare la somma galileiana delle velocità ( $u'+V$ ) ad alte velocità invece della composizione relativistica;
dimenticare il segno di $V$ a seconda del verso del moto relativo;
credere che la simultaneità sia assoluta: dipende dal riferimento (termine $-Vx/c^2$ );
confondere separazione di tipo tempo ( $s^2>0$ , causalità possibile) e di tipo spazio ( $s^2<0$ , simultaneità relativa);
trattare $\Delta x$ e $c\Delta t$ con unità incoerenti: vanno entrambi in metri;
lasciare invariata la componente trasversale della velocità: anche $u_y$ cambia perché cambia il tempo.