Il teorema di Gauss dell’elettrostatica collega il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa alla carica netta contenuta all’interno. È la prima equazione di Maxwell nel caso elettrostatico e rende esplicito un fatto fisico: le cariche elettriche sono sorgenti o pozzi del campo elettrico.
Forma integrale
La superficie \partial V deve essere chiusa e orientata con normale uscente. La carica esterna può modificare localmente il campo sulla superficie, ma contribuisce con flusso totale nullo attraverso la superficie chiusa.
Forma locale
La forma locale dice che la divergenza del campo elettrico è proporzionale alla densità di carica \rho. Il passaggio tra forma integrale e forma locale usa il teorema della divergenza; il contenuto fisico, però, è la relazione tra campo elettrico e carica elettrica.
Scelta della superficie gaussiana
Il teorema è soprattutto uno strumento di calcolo quando la simmetria rende il campo costante su una parte della superficie e nullo o tangente sulle altre parti.
| Simmetria della carica | Superficie gaussiana | Passaggio operativo |
|---|---|---|
| Sfera o guscio sferico | Sfera concentrica | \displaystyle E(r)\,4\pi r^2=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} |
| Filo rettilineo infinito | Cilindro coassiale | \displaystyle E(r)\,2\pi rL=\frac{\lambda L}{\varepsilon_0} |
| Piano infinito carico | Pillbox attraversato dal piano | \displaystyle 2EA=\frac{\sigma A}{\varepsilon_0} |
| Conduttore in equilibrio | Superficie interna al conduttore | \displaystyle E_{\text{int}}=0 |
Quando usarlo
| Situazione | Conviene usare Gauss? | Motivo |
|---|---|---|
| Distribuzione sferica, cilindrica o planare ideale | Sì | Il campo ha verso e modulo controllati dalla simmetria. |
| Poche cariche puntiformi isolate | Di solito no | La legge di Coulomb con sovrapposizione è più diretta. |
| Distribuzione senza simmetria semplice | Non per calcolare subito il campo | Il teorema resta vero, ma non determina da solo la distribuzione di campo sulla superficie. |
| Conduttori elettrostatici | Sì | Spiega campo interno nullo, carica sulla superficie e schermaggio. |
Significato fisico
Il flusso elettrico netto attraverso una superficie chiusa conta la carica netta interna, non la forma della superficie. Per questo il campo di una carica puntiforme diminuisce come il quadrato della distanza: la stessa quantità di flusso si distribuisce su sfere di area crescente.
Nelle equazioni di Maxwell, il teorema di Gauss elettrico è affiancato dalla legge di Gauss magnetica, \nabla\cdot\mathbf B=0, che esprime l’assenza di monopoli magnetici nel modello classico.
Approfondimenti: campo elettrico, legge di Coulomb, flusso, legge di Gauss magnetica, equazioni di Maxwell.