La pulsazione, detta anche frequenza angolare, misura quanto rapidamente avanza la fase di un moto periodico o di un segnale sinusoidale. Si indica di solito con \omega e si misura in radianti al secondo:
Per una funzione periodica con frequenza ordinaria f in hertz e periodo T, le relazioni fondamentali sono:
Il fattore 2\pi compare perché un ciclo completo corrisponde a un avanzamento di fase di 2\pi radianti.
Significato fisico
In una sinusoide
la quantità \omega t+\varphi è la fase. La pulsazione dice quindi quanti radianti di fase vengono percorsi ogni secondo. Se \omega è grande, la fase ruota rapidamente e il fenomeno compie più cicli nell’unità di tempo; se \omega è piccola, l’oscillazione è lenta.
La pulsazione non coincide numericamente con la frequenza in hertz. Una frequenza di 1\ \mathrm{Hz} corrisponde a:
Oscillatori
Nell’oscillatore armonico massa-molla ideale, la pulsazione naturale è:
dove k è la rigidezza della molla e m la massa. Il periodo è:
La pulsazione naturale descrive il ritmo proprio del sistema libero. In presenza di smorzamento, la pulsazione osservata può essere più bassa della pulsazione naturale non smorzata; in presenza di forzante, la risposta dipende dal confronto tra pulsazione della forzante e pulsazione propria.
Onde, circuiti e controlli
La pulsazione compare in molti contesti ingegneristici:
| Ambito | Uso di \omega |
|---|---|
| Onde | fase \displaystyle kx-\omega t |
| Corrente alternata | tensioni e correnti sinusoidali \displaystyle V(t)=V_0\cos(\omega t+\varphi) |
| Circuiti RLC | pulsazione naturale \displaystyle \omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}} |
| Bode e controlli | asse delle frequenze in \mathrm{rad/s} |
| Vibrazioni | frequenze proprie e pulsazioni di risonanza |
Nei diagrammi di risposta in frequenza e nei modelli dinamici lineari è frequente lavorare direttamente con \omega perché derivate, fasori e funzioni di trasferimento assumono forme più compatte.
Conversioni operative
La conversione tra hertz e radianti al secondo è:
Per esempio, una rete elettrica a 50\ \mathrm{Hz} ha pulsazione:
Viceversa, se un sistema ha pulsazione \omega=20\ \mathrm{rad/s}, la frequenza ordinaria è:
Errori comuni
Il primo errore è sostituire direttamente una frequenza in hertz dentro formule che richiedono \omega. Per esempio, in un oscillatore x(t)=A\cos(\omega t), usare f al posto di \omega rallenta artificialmente la fase di un fattore 2\pi.
Il secondo errore è trattare il radiante come una dimensione fisica ordinaria. Il radiante è adimensionale dal punto di vista dimensionale, ma va mantenuto nelle unità scritte perché ricorda che si sta misurando una velocità di fase, non un numero di cicli al secondo.
Il terzo errore è confondere pulsazione naturale, pulsazione smorzata e pulsazione di forzamento. In un sistema dinamico reale queste tre quantità possono essere diverse: \omega_0 descrive il sistema ideale o non smorzato, \omega_d descrive l’oscillazione libera smorzata, mentre \omega può indicare la pulsazione imposta da una sorgente esterna.
Vedi anche: oscillatore armonico, frequenza di risonanza, risonanza, corrente alternata, diagramma di Bode e serie di Fourier.