Oscillatore Armonico

L’oscillatore armonico è descritto dall’EDO del secondo ordine: $m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F(t)$

con massa $m$, smorzamento $c$, rigidezza $k$ e forzante $F(t)$.

Oscillatore Semplice ($c = 0$, $F = 0$)

$\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0, \qquad \omega_0 = \sqrt{k/m}$

Soluzione: $x(t) = A\cos(\omega_0 t) + B\sin(\omega_0 t)$. Il sistema oscilla indefinitamente con pulsazione naturale $\omega_0$.

Oscillatore Smorzato ($F = 0$)

Definendo il fattore di smorzamento $\zeta = c/(2\sqrt{km})$:

$\zeta$	Regime	Comportamento
$\zeta < 1$	Sottosmorzato	Oscillazioni con ampiezza decrescente
$\zeta = 1$	Criticamente smorzato	Ritorno all’equilibrio più rapido senza oscillazioni
$\zeta > 1$	Sovrasmorzato	Ritorno esponenziale all’equilibrio

Oscillatore Forzato e Risonanza

Con forzante $F(t) = F_0\cos(\omega t)$, la risposta a regime è: $x_p(t) = \frac{F_0/k}{\sqrt{(1-r^2)^2 + (2\zeta r)^2}}\cos(\omega t - \phi)$

con $r = \omega/\omega_0$. Per $r \to 1$ (risonanza) l’ampiezza cresce senza limite se $\zeta = 0$.

Battimenti

Con $\zeta = 0$ e $\omega \approx \omega_0$ la sovrapposizione di due oscillazioni di frequenza simile produce battimenti: oscillazione rapida modulata in ampiezza da una frequenza lenta $|\omega - \omega_0|$.

Circuiti RLC

Il circuito RLC serie è formalmente identico all’oscillatore smorzato: $L\ddot{q} + R\dot{q} + \frac{1}{C}q = V(t)$, con $q$ la carica, $L \leftrightarrow m$, $R \leftrightarrow c$, $1/C \leftrightarrow k$.