L’oscillatore armonico è descritto dall’EDO del secondo ordine: m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F(t)
con massa m, smorzamento c, rigidezza k e forzante F(t).
Oscillatore Semplice (c = 0, F = 0)
\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0, \qquad \omega_0 = \sqrt{k/m}
Soluzione: x(t) = A\cos(\omega_0 t) + B\sin(\omega_0 t). Il sistema oscilla indefinitamente con pulsazione naturale \omega_0.
Oscillatore Smorzato (F = 0)
Definendo il fattore di smorzamento \zeta = c/(2\sqrt{km}):
| \zeta | Regime | Comportamento |
|---|---|---|
| \zeta < 1 | Sottosmorzato | Oscillazioni con ampiezza decrescente |
| \zeta = 1 | Criticamente smorzato | Ritorno all’equilibrio più rapido senza oscillazioni |
| \zeta > 1 | Sovrasmorzato | Ritorno esponenziale all’equilibrio |
Oscillatore Forzato e Risonanza
Con forzante F(t) = F_0\cos(\omega t), la risposta a regime è: x_p(t) = \frac{F_0/k}{\sqrt{(1-r^2)^2 + (2\zeta r)^2}}\cos(\omega t - \phi)
con r = \omega/\omega_0. Per r \to 1 (risonanza) l’ampiezza cresce senza limite se \zeta = 0.
Battimenti
Con \zeta = 0 e \omega \approx \omega_0 la sovrapposizione di due oscillazioni di frequenza simile produce battimenti: oscillazione rapida modulata in ampiezza da una frequenza lenta |\omega - \omega_0|.
Circuiti RLC
Il circuito RLC serie è formalmente identico all’oscillatore smorzato: L\ddot{q} + R\dot{q} + \frac{1}{C}q = V(t), con q la carica, L \leftrightarrow m, R \leftrightarrow c, 1/C \leftrightarrow k.