Serie di Fourier

La serie di Fourier permette di decomporre una funzione periodica $f(t)$ in una somma (generalmente infinita) di funzioni sinusoidali elementari (armoniche). È lo strumento che collega il dominio del tempo al dominio delle frequenze discrete.

Forma Trigonometrica

Per una funzione di periodo $T$, la serie è: $f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos(n\omega t) + b_n \sin(n\omega t) \right]$ dove $\omega = 2\pi/T$ è la frequenza fondamentale e i coefficienti $a_n, b_n$ rappresentano l’ampiezza delle singole armoniche.

Significato Fisico

Ogni segnale periodico complesso può essere visto come la sovrapposizione di toni puri. Ad esempio, un’onda quadra è composta da una fondamentale e da tutte le sue armoniche dispari.

Significato Ingegneristico

• Elettronica e Potenza: Analisi della distorsione armonica in reti elettriche causata da carichi non lineari. Progetto di filtri per eliminare disturbi a frequenze specifiche.
• Acustica: Sintesi e analisi dei suoni. Il timbro di uno strumento musicale è determinato dalla forza relativa delle sue armoniche (spettro).
• Ingegneria Meccanica: Analisi delle vibrazioni indotte da organi rotanti (es. motori, turbine) che generano eccitazioni periodiche.
• Compressione Dati: Molti algoritmi di compressione (come il JPEG o l’MP3) si basano su trasformate derivate dalla serie di Fourier per identificare ed eliminare le frequenze meno percettibili.

Coefficienti di Fourier

I coefficienti si calcolano tramite il prodotto scalare in $L^2([-\pi,\pi])$: $a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)\,dx, \qquad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)\,dx$

Forma Esponenziale Complessa

In forma compatta: $f(x) \sim \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{inx}$ con $c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)e^{-inx}\,dx$.

Convergenza — Teorema di Dirichlet

Se $f$ è di classe $C^1$ a tratti, la serie converge puntualmente a $\frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}$.

Identità di Parseval

$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi |f|^2\,dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n^2 + b_n^2)$ — conservazione dell’energia nella trasformazione.

Fenomeno di Gibbs

In prossimità di una discontinuità di salto, la serie troncata presenta un overshoot fisso di circa il 9% del salto, indipendentemente dal numero di termini.