Il filtro di Kalman è un algoritmo ricorsivo per stimare lo stato nascosto di un sistema dinamico a partire da un modello e da misure rumorose. È centrale nel controllo moderno, nella navigazione inerziale, nella fusione sensoriale e nella stima in spazio di stato.
Nel caso lineare-gaussiano è ottimo in senso MMSE: combina in modo coerente l’incertezza del modello e l’incertezza dei sensori, senza ricalcolare tutta la storia delle misure a ogni istante.
Modello lineare-gaussiano
| Simbolo | Significato |
|---|---|
| \displaystyle x_k | stato del sistema al passo \displaystyle k |
| \displaystyle u_k | ingresso noto o comando applicato |
| \displaystyle y_k | misura disponibile |
| \displaystyle A | matrice di transizione dello stato |
| \displaystyle B | matrice degli ingressi |
| \displaystyle C | matrice di osservazione |
| \displaystyle Q | covarianza del rumore di processo |
| \displaystyle R | covarianza del rumore di misura |
Il modello discreto base è:
dove \displaystyle w_{k-1} e \displaystyle v_k sono rumori gaussiani, a media nulla, con covarianze rispettivamente \displaystyle Q e \displaystyle R. Di solito si assume che rumore di processo e rumore di misura siano incorrelati tra loro e nel tempo.
Ciclo ricorsivo
Il filtro alterna due fasi: predizione, basata sul modello, e correzione, basata sulla misura.
| Fase | Scopo |
|---|---|
| Predizione dello stato | propagare in avanti la stima precedente |
| Predizione della covarianza | stimare l’incertezza prima della misura |
| Guadagno di Kalman | pesare fiducia nel modello e fiducia nel sensore |
| Correzione dello stato | aggiornare la stima usando l’innovazione |
| Correzione della covarianza | ridurre l’incertezza dopo la misura |
Le equazioni di predizione sono:
La misura prevista, l’innovazione e la sua covarianza sono:
Le equazioni di aggiornamento sono:
Per stabilità numerica si usa spesso la forma di Joseph:
Questa forma è algebricamente equivalente nel caso ideale, ma in calcolo finito conserva meglio simmetria e semidefinitezza positiva della covarianza.
Lettura ingegneristica
| Situazione | Comportamento del filtro |
|---|---|
| Misure molto rumorose | il guadagno diminuisce e il modello pesa di più |
| Modello poco affidabile | la covarianza predetta cresce e le misure pesano di più |
| Sensori coerenti | l’incertezza si riduce dopo l’aggiornamento |
| Sistema non osservabile | alcune componenti dello stato non possono essere stimate bene |
La grandezza chiave è l’innovazione, cioè lo scarto tra misura e previsione:
Se l’innovazione è sistematicamente grande o correlata nel tempo, il modello dinamico, la calibrazione dei sensori o le covarianze \displaystyle Q e \displaystyle R sono probabilmente mal specificati. Se R è grande rispetto a Q, il filtro si fida di più del modello; se Q è grande rispetto a R, segue più rapidamente le misure.
La covarianza P_k segue una ricorsione di Riccati discreta. Nel regime stazionario, quando le matrici sono costanti e le condizioni strutturali sono favorevoli, questa ricorsione può convergere a una soluzione algebrica.
Applicazioni e limiti
| Ambito | Uso tipico |
|---|---|
| Navigazione aerospaziale | fusione di IMU, GPS, altimetri e sensori stellari |
| Robotica | localizzazione e stima dello stato del robot |
| Controllo industriale | stima di variabili interne non misurabili |
| Finanza quantitativa | stima di stati latenti in modelli dinamici |
| Elaborazione segnali | filtraggio adattivo e tracking |
Il filtro classico richiede linearità e rumori gaussiani per essere ottimo in senso MMSE. In pratica viene usato anche come stimatore lineare quando la gaussianità è approssimata, ma la qualità dipende dalla coerenza del modello e dalla taratura di Q e R. Quando la dinamica o le misure sono non lineari si usano varianti come EKF e UKF; quando la distribuzione dello stato è fortemente non gaussiana si ricorre a filtri a particelle.
Errori comuni: usare Q e R come parametri “decorativi”, trascurare unità di misura e correlazioni tra sensori, confondere stato stimato e misura filtrata, applicare il filtro a un sistema non osservabile, oppure aggiornare P_k con formule numericamente instabili in presenza di matrici mal condizionate.
Approfondimenti: spazio di stato, controllabilità e osservabilità, ricorsione di Riccati discreta, processo stocastico, distribuzione normale.