La ricorsione di Riccati discreta è un’equazione matriciale non lineare che aggiorna passo dopo passo una matrice simmetrica, tipicamente una covarianza di errore nella stima o una matrice di costo nel controllo ottimo. È diversa dall’equazione algebrica di Riccati, che descrive il valore stazionario a orizzonte infinito.
Nel filtro di Kalman la matrice aggiornata è la covarianza dell’errore di stima. Dato il modello:
con rumori di covarianza Q e R, la predizione della covarianza è:
La covarianza dell’innovazione è:
e il guadagno di Kalman è:
L’aggiornamento compatto della covarianza è:
Per calcoli numerici è spesso preferibile la forma di Joseph, che conserva meglio simmetria e semidefinitezza positiva:
Nel controllo ottimo discreto
Nel regolatore LQR discreto a orizzonte finito la ricorsione procede all’indietro nel tempo. Per:
e costo quadratico, la matrice P_k soddisfa:
Il guadagno di retroazione associato è:
e il controllo ottimo locale si scrive u_k=-K_kx_k.
Lettura operativa
| Contesto | Matrice aggiornata | Direzione della ricorsione | Significato |
|---|---|---|---|
| filtro di Kalman | P_k | in avanti | incertezza residua della stima |
| LQR a orizzonte finito | P_k | all’indietro | costo futuro associato allo stato |
| regime stazionario | P | limite della ricorsione | soluzione dell’equazione algebrica |
Nel Kalman la ricorsione bilancia fiducia nel modello e fiducia nelle misure. Nel LQR bilancia costo dello stato e costo dell’azione di controllo. In entrambi i casi la non linearità nasce da un termine del tipo:
che rappresenta il guadagno ottimo ottenuto risolvendo un problema quadratico locale.
Errori comuni: confondere ricorsione discreta e soluzione algebrica stazionaria, perdere la simmetria di P per errori numerici, usare matrici Q o R non semidefinite/definite coerenti con il problema, oppure applicare la formula senza verificare osservabilità, controllabilità o condizionamento numerico.
Vedi anche: Spazio di stato, Filtro di Kalman, Equazione algebrica di Riccati.